Laplace Transform

[DmitriB]

Вобщем наткнулся на проблему, понятия не имею каким образом можно трансформировать эту функцию.

Si(t) = \int^t_0 \frac{sinu}{u}du

Ответ должен буть такой.
L[Si(t)] = s^{-1} \arctan{(\frac{1}{s})}

Я не прошу никого за меня это решить, просто направьте в правильное направление.
Спасибо.

[Kuzya]

Наверное, прежде всего поменять порядок интегрирования в двойном интеграле

[DmitriB]

Можно поподробнее?
Спасибо.

[Brukvalub]

А Вы сами напишите здесь преобразование Лапласа заданной Вам функции, тогда будет легче продолжить разговор.

[V.V.]

DmitriB писал(а):

Вобщем наткнулся на проблему, понятия не имею каким образом можно трансформировать эту функцию.

Si(t) = \int^t_0 \frac{sinu}{u}du

Ответ должен буть такой.
L[Si(t)] = s^{-1} \arctan{(\frac{1}{s})}

Я не прошу никого за меня это решить, просто направьте в правильное направление.
Спасибо.

Прочитайте в произвольной книжке про операционное исчисление как меняется изображение при интегрировании оригинала (или сами выведите нужное свойство).

[DmitriB]

f(t) = \int^t_0 \frac{sinu}{u}du

$$ L[f(t)] = L[1* \frac {sinu} {u} ] = \frac{1}{s}L[\frac{sinu}{u}] $$

$L[\frac{sinu}{u}] = \int^{inf}_s F(q)dq$
$F(q) = L[sinu] = \frac{1}{q^2 + 1}$ (не уверен в этом)
$= \int^{inf}_s \frac{1}{q^2 + 1}dq = - \frac{1}{s} arctan(\frac{1}{s})$
$L[f(t)] = -\frac{1}{s^2}\arctan(\frac{1}{s})$

Вот моё решение, но оно не правильное. В чем проблема?
Спасибо.

[Brukvalub]

DmitriB писал(а):

f(t) = \int^t_0 \frac{sinu}{u}du

$$ L[f(t)] = L[1* \frac {sinu} {u} ] = \frac{1}{s}L[\frac{sinu}{u}] $$

$L[\frac{sinu}{u}] = \int^{inf}_s F(q)dq$
$F(q) = L[sinu] = \frac{1}{q^2 + 1}$ (не уверен в этом)
$= \int^{inf}_s \frac{1}{q^2 + 1}dq = - \frac{1}{s} arctan(\frac{1}{s})$
$L[f(t)] = -\frac{1}{s^2}\arctan(\frac{1}{s})$

Вот моё решение, но оно не правильное. В чем проблема?
Спасибо.

Ошибка сделана в предпоследней строке выкладок - нреверно вычислен интеграл
$\int^{inf}_s \frac{1}{q^2 + 1}dq = - \frac{1}{s} arctan(\frac{1}{s})$
Посмотрите в таблицу простейших интегралов и переделайте это вычисление - и у Вас все получится, поскольку остальные действия - верные.