Сумма ряда

[pasha_ch]

Дана сходящаяся последовательность
$b_{n}\rightarrow b$
Нужно подобрать сходящуюся к нулю последовательность
$\varepsilon_{n}\rightarrow 0$
так, чтобы сходился ряд
$\sum(b_{n}-b)/\varepsilon_{n} < \infty$

[ewert]

Вообще говоря, невозможно.

[sup]

Однако можно. Надо лишь "правильно" организовать знаки. Сначала организуем какую-нибудь последовательность $\varepsilon_n$ так, чтобы $c_n =(b_n-b)/\varepsilon_n, c_n \to 0$. А вот теперь начинаем выбирать знаки у $\varepsilon_n$. Если ряд из $c_n$ сходится, то и так все в порядке. В противном случае поступаем примерно как в теореме об условно сходящемся ряде и сходимости к произвольно заданному числу. Только в данном случае мы не переставляем члены, а выбираем знаки у $c_n$ (что эквивалентно выбору знаков у $\varepsilon_n$).

[pasha_ch]

Спасибо.