2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Про счетные множества
Сообщение07.10.2006, 22:14 


07/10/06
140
Я понимаю,что есть счетное множество(т.е. можно осуществить биекцию на множество натуральных чисел или биекцию на счетное множество),мощность континуума(множество,эквивалентное [0,1] или эквивалентное мн-ву мощности континуума).
А задачи решить не представляю как:
1)Доказать,что мн-во всех монотонных функций f(x),заданных на [a,b],имеет мощность континуума.
2)Доказать,что мн-во точек $R^n$,имеет мощность континуума.
3)Доказать,что мн-во точек разрыва монотонной функции f(x) не более,чем счетно.
4)Доказать,что мн-во точек строгого локального максимума произвольной функции f(x),x из [a,b],не более чем счетно.
5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуумаю
7)Доказать,что мн-во точек (x,y) единичного квадрата имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность {a1,a2,...} имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
14)Доказать,что мн-во всех чисел,являющихся корнем какого-либо алгебраического многочлена с целыми коэффициентами,счетно.
15)Доказать,что мн-во точек разрыва первого рода функции f(x) имеет мощность континуума.
16)Доказать,что мн-во всех точек из $R_n$ все координаты которых рациональны,счетно.
17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.
20)Д-ть,что мн-во всех интервалов (a,b) с рациональными концами a,b счетно.
21)Д-ть,что проивольный надор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.

и т.д. :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2006, 22:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Ну и что, Вы хотите, чтобы мы все сели и написали Вам решения всех этих задач, да еще и с учетом многообещающего "и т.д." в конце?

Напишите хотя бы свои соображения хоть по каким пунктам, чтобы можно было с чего-то начать.

Или для разгона докажите, что множество всех рациональных чисел счетно, равно как и пар рациональных чисел, и троек, и четверок и т.д. Это уже поможет решить некоторые задачи из списка.

Также обращаю внимание, что не всегда можно просто построить биекцию некоторого множества $X$ на множество, скажем, натуральных чисел, но можно построить биекцию на его подмножество (т.е. закодировать элементы множества $X$ различными натуральными числами, но при этом некоторым числам не будет поставлено в соответствие ни одного числа), и этого также достаточно для того, чтобы показать счетность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2006, 23:01 


07/10/06
140
PAV что Вы так плохо обо мне думаете...
Про то,что мн-во рациональных чисел счетно я прочитала в учебнике (там есть соответствующее доказательство).
Про то,что пары рац.чисел явл. счетными можно определить (я думаю) так:
$$
\begin{array}{l}
 x_1^{(1)} \;x_1^{(2)} \;x_2^{(1)} \;x_2^{(2)} \;x_3^{(1)} \;x_3^{(2)}  \ldots  \\ 
 x_1 \quad x_2 \quad x_3 \quad x_4 \quad x_5 \quad x_6  \ldots \quad  \\ 
 \end{array}
$$
(вверху пара рац. чисел,внизу просто рац. число,т.е. мы осуществили биекцию).И т.д. с любым кол-вом рац.чисел...или не так я доказала?
Ну а как быть с заданиями в первом посте?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2006, 23:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Нет, это доказательство неверно. Доказать счетность множества пар рациональных чисел - значит, пронумеровать их. Я не понимаю, как Вы пронумеровали.

На самом деле, при доказательстве счетности множества рациональных чисел по сути используется то, что рац. число - это пара целых чисел, а множество целых чисел счетно. Ту же идею можно проделать здесь. А вообще, найдите в учебнике утверждение, что прямое произведение любых двух счетных множеств также счетно.

Ну и когда Вы с этим разберетесь, то получите решение задач 16 и 20 из списка....

И еще раз: хотелось бы получить от Вас хоть какие-то соображения по хоть каким-то из пунктов. Давать здесь готовые решения учебных задач не принято, это четко написано в объявлении в начале данного раздела.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 00:32 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Некоторые задания достаточно просто доказать. Однако
я не как не могу доказать задание 8. Даже подступиться не
получается. Не подскажите идею?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Woland писал(а):
Некоторые задания достаточно просто доказать. Однако
я не как не могу доказать задание 8. Даже подступиться не
получается. Не подскажите идею?

В каждом интервале можно найти рациональную точку. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 08:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я не понимаю формулировку задания 15. Там, вероятно, должна быть указана конкретная функция f. И нет ли там ошибки, ведь если взять монотонную функцию f, то для нее множество точек разрыва первого рода конечно или счетно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 10:27 


07/10/06
140
Цитата:
Я не понимаю формулировку задания 15.

- \infty < x < \infty

17)Я нашла:декартово произведение счетного мн-во счетно.Пара рац.чисел (x,y) явл. декартовым произведением R на R. Но R-счетно.Значит,и R на R счетно.А значит,и мн-во пар счетно.Аналогично и с n-мерынм пространством.Получается,что 16 сделано.
Цитата:
Я не понимаю формулировку задания 15

Woland а как?Мне вообще не понятно как доказывать.
14)Докажем,что биекция мн-ву натуральных чисел существует.Алгебр.ур-ие=декартово произведение ${\rm Z} \times {\rm Z} \ldots {\rm Z} = n$,где n-степень алгебр.ур-ия.Корни ур-ия-это объединение счетного мн-ва....?
4)Все точки лок.максимума ф-ии f(x) на [a,b] можно занумеровать в порядке их следования (от a к b).Эти точки есть декартово произведение R на R.И аналог.пункту 17.
А больше я не знаю:подскажите вообще алгоритм какой-нибудь решения таких задач и парочку примеров из этих пунктов.А я попробую при Вас решить аналогично!

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 13:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
4: неверно. Где Вы использовали условие, что это строгие локальные максимумы?

Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.

Добавлено спустя 5 минут 38 секунд:

Общий принцип такой: чтобы показать, что некоторое множество $X$ не более чем счетно, нужно придумать способ, как сопоставить каждому элементу $x\in X$ какой-нибудь элемент из счетного множества. Чаще всего это множество рациональных чисел. При этом самый существенный момент - это доказать, что разным элементам множества $X$ сопоставляются обязательно разные числа, иначе доказательство неверное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 13:32 
Аватара пользователя


28/06/06
138
PAV писал(а):
Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.


А иррациональную, что нельзя? То есть откуда следует, что таких интервалов счётно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 13:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Иррациональную нельзя, так как множество всех иррациональных чисел имеет мощность континуума. Мы фактически ставим в соответствие каждой точке разрыва (или, если хотите, каждому такому интервалу) некоторое рациональное число, причем разным точкам - разные числа (поскольку интервалы не пересекаются). Отсюда и следует, что таких точек не более чем счетно, поскольку рациональных чисел счетное число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 13:47 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Извените за тупость. Но вдруг интервалов не счётно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 13:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
1. Каждому интервалу сопоставлена рац. число.

2. Разным интервалам сопоставлены разные рац. числа.


Это значит, что установлено взаимно-однозначное соответствие между всеми указанными интервалами и некоторым подмножеством $A$ рац. чисел. Таким образом, мощность множества интервалов не может превосходить мощность множества рац. чисел. Более точно, множество интервалов равномощно множеству $A$. Если $A$ конечно, то и интервалов конечно. Если же $A$ бесконечно, тогда оно счетно, т.е. и множество интервалов счетно.

Итог: множество интервалов не более чем счетно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 14:45 


07/10/06
140
Ну это сейчас идет все д-во для счетных мн-в.
А для мн-в мощности континуума как поступить?Например,для 1,2,7?
Про 4: по определению ф-ия возрастает слева от точки сторого лок. максимума и убывает справа.Возьмем такой интерал,содержащий точку лок.максимума,для к-рого значение функции в точках (стоящих слева от максимума) этого интервала отрицально,а справа-положительно.Такие отрезки будут не пересекаться (можно выбрать отрезок достаточно малым длины dx).В каждом этом отрезке выберем рациональную точку.Т.е. каждому интервалу мы поставили в соответствие некие рац. числа (она различны),т.е. осуществили биекцию на подмн-во рац.чисел.Значит,4 доказали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2006, 15:11 
Аватара пользователя


28/06/06
138
1)Идея: возьмите какую-нибудь монотонную функцию, и параллельным
переносом двигайте, её параллельно оси Y. Замете, что все они различны,
а множество точек интервала (0,1) равно континууму.
2)Это стандартная задача. Поищете на форуме, она здесь уже рассматривалась (и не однократно).

Добавлено спустя 21 минуту 19 секунд:

Насчёт 7. Можно действовать так: поскольку существует биекция
между (0,1)^w(множеством всевозможных, бесконечных, двоичных
последовательностей) и R_{[0,1]}. То необходимую нам биекцию
строим так: для двух бесконечных последовательностей
A_1=0,a_1a_2.... и A_2=0,b_1b_2.... ,где a_i, b_i
принимают значения лишь нуль либо один. Формируем 3-ю
A_3=0,a_1b_1a_2b_2.... легко видеть,что построенное отображение
биективно. Значит множество точек квадрата(A_i,B_i) равномощно
отрезку [0,1]. Оставшихся же точек на квадрате т.е. таких,что какая либо
координата записывается лишь с конечным числом знаков после запятой не более чем счётно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group