Бикоммутант коммутативен

[fish-ka]

Если положить за определение алгебры фон Неймана то, что *-подалгебра должна совпадать со своим вторым коммутантом, то почему верно следующее утверждение: если операторы из $A$ - (некоторого подмножества множества всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве) таковы, что $\forall x,y\in A\quad xy=yx,\quad xy^*=y^*x$, то почему $A''$ - коммутативная алгебра фон Неймана?

Мне ясно, что $A''$ - алгебра фон Неймана. Теперь надо проверить, что $\forall a,b\in A'':\quad ab=ba$. Но теперь непонятно, как воспользоваться исходными условиями? У меня есть предположение, что туда надо втиснуть какой нибудь оператор, такой что $xx^*=1$, но ведь для произвольного подмножества $A$ такой оператор может не существовать.

[svv]

fish-ka писал(а):

*-подалгебра должна совпадать со своим вторым коммутантом

То есть если $a, b \in A''$, то $a, b \in A$. И Вы сказали, что $\forall a,b\in A: ab=ba$. Значит, как учил Аристотель, $\forall a,b\in A'': ab=ba$.