О приближении рекуррентной формулы

[e7e5]

Как недавно выяснил
$a_{n+1}=a_n(n-1/2)$ можно представить в виде
$a_n=a_1 \frac {(2n-1)!!} {2^n}$

Однако, в действительности рекуррентная формула имеет следующий вид:
$a_{n+1}=a_n(n-1/2)+o(1/n)$
Можно ли модифицировать результат с учетом $o(1/n)$? ( может быть для какого-то интервала n, для которого можно было бы записать простое приближение)

[Xaositect]

Рассмотрим "эталонную" последовательность $c_n$, которая без $o(1/n)$
$\frac{c_{n+1}}{c_{n}} = (n-1/2)$
$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = (n-1/2) + \frac{o(1/n)}{a_n}$

Отсюда
$\frac{a_{n+1}/c_{n+1}}{a_{n}/c_{n}} = 1+\frac{o(1/n^2)}{a_n}$
Т.о., $\frac{a_{n+1}}{c_{n+1}} < \prod\limits_{k=1}^n (1+A/n^2)$, а последнее произведение стремится к некоторой константе, докажите сами.
Так что наша последовательность увеличится не более, чем в константу раз