Выпуклость

[Mandel]

Добрый вечер.Помогите с решением такой задачи: доказать,что,если основание конуса является выпуклым множеством,то и сам конус также является выпуклым.

[незваный гость]

Попробуйте по определению конуса. Выпишите уравнение для концов (из определения конуса), и покажите, что промежуточная точка (полученная из выпуклости) удовлетворяет аналогичному уравнению.

[Mandel]

Хм.Еще бы уравнение конуов знать (
А промежуточная точка чего (которая на конусе)?

[Someone]

Mandel писал(а):

Хм.Еще бы уравнение конуов знать (
А промежуточная точка чего (которая на конусе)?

А определение выпуклого множества Вы знаете? Может быть, начать с того, что его сформулировать?

[Mandel]

Знаю.Мн-во $A$ является выпуклым тогда и только тогда когда для

$$ \forall x_1 ,x_2 \in A\,\quad \exists \lambda \in \left( {0,1} \right):x \in A,x = \lambda x_1 + (1 - \lambda )x_2 $$

А вот по-моему определение конуса K:

$$ x \in K\quad \exists \lambda \in \left( {0,1} \right):\lambda x \in K $$

Ну и что дальше делать?

[PAV]

Немного не так с определением конуса. Во-первых, коэффициент $\lambda$ берется из множества $(0,+\infty)$. (В Вашем варианте получится что-то типа ограниченного конуса. Впрочем, утверждение о выпуклости будет верно и в этом случае). Во-вторых, в Вашем определении не фигурирует понятие "основание конуса".

Я бы дал такое определение. Задано множество $\widehat K$, которое называется основанием конуса. Известно, что оно выпуклое. Конусом называется множество точек вида $\lambda x$, где $\lambda\in(0,+\infty)$, $x\in \widehat K$.

Вам надо взять две такие точки, взять их выпуклую комбинацию и показать, что ее можно представить в аналогичном виде (используя выпуклость основания).

[reader_st]

Mandel

Вот нашел определение из книги Пшеничны й Б.Н. "Выпуклый анализ и экстремальные задачи"

Выпуклое множество К называется выпуклым конусом, если из того, что $x \in K$ и $\lambda > 0$, следует, что $\lambda x \in K$.

Так же приводится много полезных теорем, вообщем, советую посмотреть

[Brukvalub]

PAV писал(а):

...
Я бы дал такое определение. Задано множество $\widehat K$, которое называется основанием конуса. Известно, что оно выпуклое. Конусом называется множество точек вида $\lambda x$, где $\lambda\in(0,+\infty)$, $x\in \widehat K$....

А мне кажется, что конусом с вершиной в точке М и основанием К обычно называют множество точек всех лучей, начинающихся в точке М и пересекающих К, и такое определение конуса не совпадает с приведенном Вами.

[PAV]

Почему? Если взять в качестве точки М начало координат, то совпадает. Только, если быть строгим, то нужно положить $\lambda\in[0,+\infty)$. Тогда множество точек вида $\lambda x$ как раз и будет лучем, выходящим из начала координат и проходящим через точку $x$.

[Someone]

Mandel писал(а):

Знаю.Мн-во $A$ является выпуклым тогда и только тогда когда для

$$ \forall x_1 ,x_2 \in A\,\quad \exists \lambda \in \left( {0,1} \right):x \in A,x = \lambda x_1 + (1 - \lambda )x_2 $$

А вот по-моему определение конуса K:

$$ x \in K\quad \exists \lambda \in \left( {0,1} \right):\lambda x \in K $$

Ну и что дальше делать?

Что-то мне очень сильно Ваши определения не нравятся.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит весь соединяющий их отрезок. Формально ($K$ - линейное пространство над $\mathbb R$):

множество $A\subseteq K$ называется выпуклым, если $\forall x_1,x_2\in A\;\forall\lambda\in[0,1]\;\;(1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in A$.

Конус с вершиной $x_0\in K$ и основанием $A\subseteq K$ - это объединение всех лучей, выходящих из $x_0$ и пересекающих $A$ (вариант: отрезков, соединяющих вершину $x_0$ с точками основания $A$). Формально:

конус с вершиной $x_0\in K$ и основанием $A$ - это множество $\{x:\exists x_1\in A\;\exists\lambda\in[0,+\infty)\;\;x=(1-\lambda)x_0+\lambda x_1\}$ (вариант: $\{x:\exists x_1\in A\;\exists\lambda\in[0,1]\;\;x=(1-\lambda)x_0+\lambda x_1\}$).

[Mandel]

[b]SomeOne[\b] вы правы.
Это вы все перечислили определения.Каким макаром решить задачу?

[Mandel]

Цитата:

Вам надо взять две такие точки, взять их выпуклую комбинацию и показать, что ее можно представить в аналогичном виде (используя выпуклость основания).

Ну беру я 2 точки для конуса $x_1 ,x_2 \in K \Rightarrow \exists \lambda _1 ,\lambda _2 > 0:\lambda _1 x_1 ,\lambda _2 x_2 \in K$
Вот их выпуклая комбинация: $\lambda _3 x_1 + (1 - \lambda _3 )x_2 $.
Покажем,что $\lambda _3 \lambda _1 x_1 + (1 - \lambda _3 )\lambda _2 x_2 \in K$:
$\lambda _3 \lambda _1 x_1 + (1 - \lambda _3 )\lambda _2 x_2 = \Lambda _1 x_1 + (1 - \Lambda _2 )x_2 $,где $\Lambda _1 = \lambda _3 \lambda _1 \quad \left( {\Lambda _1 \in \left[ {0,1} \right]} \right),\Lambda _2 = 1 + \lambda _2 \left( {\lambda _3 - 1} \right),\quad \left( {\Lambda _2 \in \left[ {0,1} \right]} \right).$
Следовательно,$K ---$ выпуклое множество.Или я здесь неправильно рассуждал (да еще и нигде выпуклость $A$ не использовал)

[PAV]

Вы путаетесь с кванторами.

Mandel писал(а):

Ну беру я 2 точки для конуса $x_1 ,x_2 \in K \Rightarrow \exists \lambda _1 ,\lambda _2 > 0:\lambda _1 x_1 ,\lambda _2 x_2 \in K$

Здесь написана бессмыслица. Переводя на русский язык, здесь написано, что если взять две точки из конуса ($x_1$ и $x_2$), то найдутся две точки на соответствующих лучах, которые тоже принадлежат конусу. Это верно, конечно, но совершенно бессмысленно, так как все лучи целиком принадлежат конусу. Кроме того, здесь никак не использовано основание (как я понял, мы будем его обозначать через $A$).

Нужно рассуждать так. Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из конуса. По определению конуса, они имеют вид $x_i=\lambda_i a_i$, где $\lambda_i>0$, $a_i\in A$.

Теперь возьмем выпуклую комбинацию $x_3=\lambda_3 x_1 + (1-\lambda_3)x_2$, где $\lambda_3\in(0,1)$.

Теперь нужно только догадаться, как показать, что $x_3\in K$, и при этом еще и воспользоваться выпуклустью $A$.

[Mandel]

Вот так?:
$x_3 = \lambda _1 \lambda _3 a_1 + (1 - \lambda _3 )\lambda _2 a_2 = \Lambda _1 a_1 + (1 - \Lambda _1 )a_2 ,\quad \Lambda _1 = \frac{{1 + \lambda _1 \lambda _3 + \lambda _2 \lambda _3 - \lambda _2 }}{2},\Lambda _1 \in \left[ {0,1} \right]$
Следовательно,$x_3 \in A$.Т.к. $A \subset K$,то $x_3 \in K$.Значит,K-выпуклое множество.

[PAV]

Нет, не так. Если подставить $\Lambda_1$ в выражение для $x_3$, то будет неверное равенство.

А по смыслу получается полная ерунда. Вы "показали", что любая точка на любом отрезке, соединяющем две точки в конусе, лежит на ОБРАЗУЮЩЕЙ этого конуса. Даже геометрически понятно, что это ерунда. (Тогда получается, между прочим, что конус совпадает со своей образующей). Вы старайтесь не просто писать формулы, а понимать, что за ними стоит.

Наша проблема в том, что коэффициенты при $a_1$ и $a_2$ в выражении для $x_3$ в сумме не равны единице, т.е. мы имеем не выпуклую комбинацию. Это принципиально не устранимо, так как числа $\lambda_1$ и $\lambda_2$ никак не связаны друг с другом и могут принимать любые положительные значения (например, сколь угодно большие). Но не забывайте, что нам нужно показать, что $x_3$ представляется в виде $\lambda_3 a_3$. Вот и воспользуйтесь возможностью вынести множитель $\lambda_3$.