Как Найти сумму рядаа

[Crutoy Pazan]

Как Эйлер нашел сумму ряда из обратных квадратов?

[ИСН]

Через бесконечное произведение для синуса.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

Через бесконечное произведение для синуса

а можно расписать- пожалуйста!

[ИСН]

Короче - сказал он - представим, что было бы, если бы синус был многочленом. Очевидно, раз корень в нуле, там есть x.

$$\sin x = x\cdot\dots$$

Дальше, у нас есть корни в пи и минус пи. То есть имеется множитель $(x-\pi)(x+\pi)=(x^2-\pi^2)$. Но это портит знак вблизи нуля. Значит, $(\pi^2-x^2)$. Но это портит коэффициент при x. Значит, $(1-{x^2\over\pi^2})$.

$$\sin x = x\cdot\left(1-{x^2\over\pi^2}\right)\cdot\dots$$

Ну и дальше как-то так.

-- Чт, 2011-02-24, 21:17 --

Обоснованиями он не особо заморачивался - тогда никакого ГАИ не было, езди как хочешь, паркуйся где хочешь.

[Crutoy Pazan]

а по подробнее где можно?

[ИСН]

Где-то есть, конечно, но я по-быстрому не нашёл, так что исходите из этого. ИМХО тут уже достаточно.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

ИМХО тут уже достаточно.

Так выведите, а то я вообще кажись не в теме

[ИСН]

Да ёлки!
Дальше, у нас есть корни в $\pm2\pi$. То есть имеется множитель $(x-2\pi)(x+2\pi)=(x^2-4\pi^2)$. Но это портит знак вблизи нуля. Значит, $(4\pi^2-x^2)$. Но это портит коэффициент при x. Значит, $(1-{x^2\over4\pi^2})$.

$$\sin x = x\cdot\left(1-{x^2\over\pi^2}\right)\cdot\left(1-{x^2\over4\pi^2}\right)\cdot\dots$$

Ну и дальше как-то так.

[Crutoy Pazan]

Так-сан!. Н

Цитата:

о это портит коэффициент при x.

Каким образом портит?

Цитата:

Ну и дальше как-то так

ну да, и что?- мы ведь получили произведение, а не сумму...

[gris]

Эйлер знал разложение синуса в ряд Тейлора. Ну и приравнял коэффициенты при икс в кубе, раскрыв скобки.
Я всегда с удовольствием вспоминаю книгу Джорджа Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения", где увлекательно рассказано об этом и других забавных случаях.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

Эйлер знал разложение синуса в ряд Тейлора. Ну и приравнял коэффициенты при икс в кубе, раскрыв скобки.

какие скобки-как ,что?

Цитата:

Я всегда с удовольствием вспоминаю книгу Джорджа Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения", где увлекательно рассказано об этом и других забавных случаях.

поиск не выдает...

[gris]

Не тем ищете .
Гугл на поиск по выделенному фрагменту Джорджа Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения" выдаёт 39 тысяч страничек. Книга полезная и незанудная. Ещё есть "Математическое открытие" того же автора.
А скобки в произведении. Некорректно скобки раскрывать в бесконечных произведениях без тысячи заклинаний, но Эйлеру можно, он великий.

[Crutoy Pazan]

Gris
Спасибо!Уже скачал