Общая топология, произведение пространств

[JMH]

Н. Бурбаки, "Общая топология", гл. 1, §4, n 3, предложение 8:
“Пусть a=(a_i) - точка пространства X=\prod \limits_{i\in I}{X_i}; множество D тех точек x\in X, у которых pr_i x=a_i для всех, кроме конечного числа индексов i, всюду плотно в X.”

Контекст: рассматриваются произвольные топологические пр-ва X_i и их произведение X.

Итак, все проекции, за исключением конечного числа проекций, точек множества D фиксированы. В моем представлении множество таких точек представляет собой срез (сохранена терминология Бурбаки) топологического пространства - произведения, иначе говоря, подпространство. Но тогда как может все пр-во - произведение принадлежать замыканию среза? Возьмем, например, множество D=\{(a,x):x\in\mathbb{R}\} в пр-ве {\mathbb{R}}^2, где a - произвольная константа. Либо я чего-то сильно не понимаю (а так оно и есть), либо это множество удовлетворяет условию предложения. Но такое множество представляет собой прямую на плоскости и никак не может быть плотным в плоскости. Что я понимаю неправильно?

[Someone]

Вы неправильно понимаете определение множества $D$. В случае $\mathbb R^2=\mathbb R_1\times\mathbb R_2=\prod\limits_{i=1}^2\mathbb R_i$ и точки $a=(a_1,a_2)\in\mathbb R^2$ множество индексов $I=\{1,2\}$ состоит из двух элементов. Оно содержит 4 конечных подмножества: $J_0=\varnothing$, $J_1=\{1\}$, $J_2=\{2\}$, $J_3=I$. Тогда

$$D=\{a\}\cup(\mathbb R_1\times\{a_2\})\cup(\{a_1\}\times\mathbb R_2)\cup(\mathbb R_1\times\mathbb R_2)=\mathbb R_1\times\mathbb R_2\text{.}$$

Это подмножество $D$ называется $\sigma$-произведением, и для конечного числа сомножителей оно совпадает со всем произведением.

[JMH]

Большое спасибо, тогда все понятно. Мне, однако, понадобилось медленно перечитать текст несколько раз для того, чтобы понять, что $D$ именно таково... это я туплю или действительно текст предложения мог бы быть несколько прозрачнее?

[Someone]

Можно было бы написать определение множества $D\subseteq\prod\limits_{i\in I}X_i$ так:

$$D=\bigcup_{J\subseteq I,|J|<\aleph_0}\left(\prod_{i\in J}X_i\times\prod_{i\in I\setminus J}\{a_j\}\text{.}\right)$$

Вообще, на мой взгляд, книги Н.Бурбаки - это не учебник.

P.S. Формулы следует окружать знаками доллара - одиночными или двойными. Тег Math в большинстве случаев поставится автоматически, а если не поставится (так бывает, если код формулы разбит на несколько строк), его можно будет добавить вручную.

$D\subseteq\prod\limits_{i\in I}X_i$
$$D=\bigcup_{J\subseteq I,|J|<\aleph_0}\left(\prod_{i\in J}X_i\times\prod_{i\in I\setminus J}\{a_j\}\text{.}\right)$$