Ring

[dovlato]

Тяжёлая тонкая нить образует кольцо, вращающееся вокруг своего геометрического центра.
Линейная плотность кинетической энергии (т.е. приходящаяся на единицу длины кольца)
равна $\epsilon$. Найти силу натяжения кольца.

[arseniiv]

Случайно не $4 \pi \varepsilon$? Получилось в результате колдовства, не могу дать правильное объяснение.

[dovlato]

arseniiv в сообщении #416373 писал(а):

Случайно не $4 \pi \varepsilon$? Получилось в результате колдовства, не могу дать правильное объяснение.

Коэффициент другой, поменьше. Мне удалось получить без колдовства; надо выделить дугу, стягивающую малый центральный угол $\Delta {\alpha\to 0}$, и рассмотреть все силы. В частности, центростремительная сила при этом равна $f \Delta\alpha$ , где $f$ - та самая сила натяжения.
Существует также решение другого, более общего толка (что-то наподобие Лагранжева метода возможных перемещений). Значит, кольцо как бы находится в "поле центростремительных сил", создающих радиал. ускорение $a=\frac {V^2}R$. Далее, рассматривая воображаемое растяжение кольца за счёт малого приращения радиуса $\Delta R$, и приравнивая изменение энергии в поле ц.с. сил - работе $\Delta A=f2\pi \Delta R$, получим такой же результат.

[dovlato]

dovlato в сообщении #416249 писал(а):

Линейная плотность кинетической энергии (т.е. приходящаяся на единицу длины кольца)
равна $\epsilon$. Найти силу натяжения кольца.

Кстати, отсюда следует, что если замкнутому контуру нити придать произвольнуюую форму, при которой возможно устойчивое движение, то в отсутствие трения со шкивами - натяжение нити постоянно во всех её точках.