2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Заблудившийся турист.
Сообщение06.10.2006, 11:23 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Когда-то давно в школе решал эту задачку, а сейчас почему-то вспомнил:

Турист заблудился в большом лесу, но он точно знает, что до края леса ровно 2 км (край представляет собой прямую линию), только он не знает в какую сторону идти. Какой минимальный путь должен пройти турист, чтобы наверняка выйти к краю леса? (Предполагается, что лес очень густой и край не видно пока не выйдешь)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 11:26 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4313
$$2 + 2\cdot2\cdot\pi$$ ? =)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 11:30 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
cepesh писал(а):
$$2 + 2\cdot2\cdot\pi$$ ? =)

Нет, можно и меньше :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 11:53 


12/02/06
110
Russia
А может быть $2+ 3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=2+6 \sqrt 2?$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
vbn писал(а):
А может быть $3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=6 \sqrt 2?$
Это по какому маршруту?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:08 


12/02/06
110
Russia
photon писал(а):
vbn писал(а):
А может быть $3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=6 \sqrt 2?$
Это по какому маршруту?


+ еще 2 км.

Идем прямо 2 км.
Затем под углом 45 гр. $2\sqrt 2$ км,
затем под углом 90 гр. $2\sqrt 2$ км,
и последний раз под углом 90 гр. $2\sqrt 2$ км.

Итого $2+6 \sqrt 2.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:14 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Не получается, после поворота на 45 Вы будете идти не по краю и не за ним, а в глубине леса - не принимается

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Этак Вы не выйдете на край, если он, например, расположен в 2 км от исходной точки и параллелен второму отрезку пути. Upd. Пока писал, опередили.
Предлагаю вариант: 2 км по прямой, потом повернуть под прямым углом и проделать 3/4 окружности с радиусом 2 км, потом ещё 2 км по прямой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:20 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
ИСН писал(а):
Предлагаю вариант: 2 км по прямой, потом повернуть под прямым углом и проделать 3/4 окружности с радиусом 2 км, потом ещё 2 км по прямой.

Что-то много получается...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну, всё-таки 4+3\pi - меньше, чем 2+4\pi.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 13:07 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем $8.04$ (где-то так $\approx8.0329$) получается, если нигде не ошибся, а у Вас больше $13$

Но Вы на правильном пути и, если не ошибаюсь, то в вашем варианте последний участок можно брать меньше чем 2км

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 14:14 


06/10/06
2
[quote="photon"]Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем [math]$8.04$[/math] (где-то так [math]$\approx8.0329$[/math]) получается, если нигде не ошибся, а у Вас больше [math]$13$[/math]

Но Вы на правильном пути и, если не ошибаюсь, то в вашем варианте последний участок можно брать меньше чем 2км[/quote]

Takoe vpechatlenie, chto vash put 2 + 2 pi -- ne realno malo.

Vidimo venoe rasstojanie chut menshe chem + 3 pi. V nacale nuzhno projti chut bolshe 2km i potom po kasatelnoj k okruzhnosti r=2 doidti i vdol nee zatem. V konce srezat po pramoj, kak u ИСН. Chobi najti otvet nuzhno reshat neprijatnie trigonometricheskie uravnenija.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 14:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
У меня получается $2\sqrt 3 +\frac{10\pi }{3}$, это примерно 13,936.
Способ решения. Двигаемся по прямой на растояние а>2. Проводим две касательные к окружности радиуса 2 (с центром в исходной точке). Передвигаемся по одной касательной до окружности и пробегаем по окружности до другой касательной. При этом путь равна $a+\sqrt{a^2-4}+2\pi +4\arcsin \frac{2}{a} .$
Минимальное значение при $a=\frac{4}{\sqrt 3 }$, что дает указанное значение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
photon писал(а):
Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем $8.04$ (где-то так $\approx8.0329$) получается...

Ну это вряд-ли. :shock:
Имхо, меньше, чем $2\cdot (1+\sqrt{3}+\frac{7\pi}{6}) \approx 12,7944844735193881... $ не получится.
Кстати, зачем 2 км - хватило бы и 1 км, а то я было раскатал губу, что у меня значительно лучше.
Доказательство минимальности (с этим туго) - это явно вариационная задача.

ЗЫ. Добавил после прочтения Руста. Похоже, но только до другой касательной не надо - от первой точки касания проходим 7/6 полуокружности, откуда по касательной срываемся с окружности и проходим ещё один радиус.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2006, 15:12 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
Изображение
Давайте вместе найдем, при каком $\alpha$ путь будет минимальным и какова его длина.
Я, безусловно, мог и ошибиться

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group