дифференцирование. подскажите чайнику

[OcbMuHor]

есть простая задачка. Есть данные и знаю как ее решать. Проблема в том что я не умею пользоваться дифференцированием и интегрированием. Подскажите пожалуйста "на пальцах" как используются формулы вида $\[\frac{{dx}}{{dt}}\]$. Есть система $\[\left\{ \begin{gathered} x = 1.5{t^2} + 6t \hfill \\ y = 4{t^3} \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$ $\[m = 1кг,t = 10c\]$. Найти $\[v,a,F,{E_k}\]$.
Скаляр скорости вычисляется на основании проекций вектора скорости на соответствующие оси системы координат. В свою очередь проекция $\[{v_x} = \frac{{dx}}{{dt}}\]$ Как вычисляется производная? Я поискал ресурсы сети, сам принцип понятен. Хотелось бы живой пример в аспекте этой темы, если не трудно.

[BISHA]

OcbMuHor в сообщении #415481 писал(а):

Скаляр скорости вычисляется на основании проекций вектора скорости на соответствующие оси системы координат. В свою очередь проекция $\[{v_x} = \frac{{dx}}{{dt}}\]$ Как вычисляется производная?

Скорости по осям - это первые производные, а затем находим скорость по теореме Пифагора. Импульс по определению - масса на скорость.
Ускорение вторая производная ...., Сила по второму закону Ньютона, а кинетическая энергия по формуле кинетической энергии.

[OcbMuHor]

Спасибо. И все таки. Что такое эти производные и что с ними делать? Есть данные, знаю формулы, а как воспользоваться ими - не знаю. $\[{v_x} = \frac{{dx}}{{dt}}\]$ и каким образом эта формула связывается с $\[x = 1.5{t^2} + 6t\]$, что это за $\[d\]$, как ее вычислить? что с ней делать?

[alex1910]

Ну скажут вам, чему равна производная в данном конкретном случае. А дальше что - будете обращаться по поводу каждой новой задачи?

Так что учитесь дифференцировать.

[OcbMuHor]

alex1910 в сообщении #415557 писал(а):

Ну скажут вам, чему равна производная в данном конкретном случае. А дальше что - будете обращаться по поводу каждой новой задачи?

Так что учитесь дифференцировать.

Ну так вот оно. Я же не спрашиваю чему они равны, я спрашиваю как узнать чему они равны? и как применить их в контексте данной задачи когда я узнаю чему они равны? Разве сложно вместо пинков пояснить наглядно. Кстати может тема и не называется "научите дифференцировать", но просьба довольно схожая. Правда я прошу не научить, а пояснить, если можно навести на верный путь.

[caxap]

Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление"

-- 21 фев 2011, 23:23 --

OcbMuHor в сообщении #415554 писал(а):

что это за $d$

Понимайте $\dfrac d{dt}$ как цельный символ, а не как дробь.

[Ales]

OcbMuHor в сообщении #415554 писал(а):

$\[x = 1.5{t^2} + 6t\]$

$x+dx=1.5 (t+dt)^2+6(t+dt)=1.5t^2+6t+(3t+6)dt+1.5(dt)^2$
отбрасываем дифференциалы выше первого порядка, то есть $1.5(dt)^2$ и получаем:
$dx=(3t+6)dt$ и значит $\frac {dx} {dt} =3t+6$

можно сразу вычислять дифференциалы используя два алгебраических свойства:
1. $d(x+y)=dx+dy$
2. $d(xy)=ydx+xdy$
все остальные свойства выводятся из этих двух,
а эти два можно вывести, рассматривая приращения и отбрасывая дифференциалы выше первого порядка:
1. $(x+y)+d(x+y)=(x+dx)+(y+dy)=(x+y)+(dx+dy)$
2. $xy+d(xy)=(x+dx)(y+dy)=xy+ydx+xdy+dxdy$

-- Пн фев 21, 2011 23:56:58 --

OcbMuHor в сообщении #415554 писал(а):

что это за $\[d\]$, как ее вычислить? что с ней делать?

$dx$ - очень малое приращение величины $x$, ее дифференциал.
Величины могут быть связаны нелинейно, но их малые приращения - дифференциалы всегда связаны линейно.

[gris]

Вот пример
$\left\{ \begin{gathered} x = 4{t^3} - 12t \hfill \\ y = 3{t^2} \hfill \\ z = 8t \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$m = 2 kg, t = 1 s$. Найти $v,a,F,{E_k}$

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac {dx}{dt} = (4{t^3} - 12t)_t=12t^2-12 \hfill \\ \dfrac {dy}{dt} = (3{t^2})_t=6t \hfill \\ \dfrac {dz}{dt} = (8t)_t=8 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\vec v=\left(\dfrac {dx}{dt}; \dfrac {dy}{dt}; \dfrac {dz}{dt} \right)=\left(12t^2-12;6t;8\right)$

$v(1)=|\vec v(1)|=|(12\cdot 1^2-12;6\cdot1;8)|=|(0;6;8)|=$$\sqrt{0^2+6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 $ м/с

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac {d^2x}{dt^2} = (12t^2-12)_t=24t \hfill \\ \dfrac {d^2y}{dt^2} = (6t)_t=6 \hfill \\ \dfrac {d^2z}{dt^2} = (8)_t=0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\vec a=\left(\dfrac {d^2x}{dt^2}; \dfrac {d^2y}{dt^2}; \dfrac {d^2z}{dt^2} \right)=\left(24t;6;0\right)$

$a(1)=|\vec a(1)|=|(24\cdot 1;6;0)|=|(24;6;0)|=$$\sqrt{24^2+6^2+0^2}=\sqrt{612}=6\sqrt{17} $ м/с²

$\vec F=m\vec a=\left(24mt;6m;0\right)$

$F(1)=m|\vec a(1)|=12\sqrt{17}$ н
Ну и так далее

[OcbMuHor]

ага. спсибо. верно ли я понял закономерность?
$\[\begin{gathered} x = a{q^n} + b{q^{n - 1}} + ... + c{q^1} \hfill \\ \frac{{dx}}{{dq}} = an \cdot {q^{n - 1}} + b \cdot (n - 1) \cdot {q^{n - 2}} + ... + {c^1}{q^0} \hfill \\ \end{gathered} \]$

[Ales]

OcbMuHor в сообщении #415611 писал(а):

ага. спсибо. верно ли я понял закономерность?

да правильно:
$d(q^n)=q^{n-1}dq+qdq^{n-1}=q^{n-1}dq+qq^{n-2}dq+q^2dq^{n-2}=...=$
$=q^0q^{n-1}dq+qq^{n-2}dq+q^2q^{n-3}dq+...+q^{n-1}q^0dq=nq^{n-1}dq$