Пол и плитки

[Fsb4000]

Есть несколько задач про плитки. Различаются только параметрами. По идее должны не сложно решаться, только не пойму как.
Такого плана: Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные
плитки. Семь плиток оказались непригодны. Оставшимися плитками
выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой
укладывается на 9 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?

Взято отсюда http://www.spaceolymp.ru/tasks/Maths2009.pdf .
Программой на C легко ищется,что решение одно, 169 плиток. Но математически удалось доказать, что только число плиток нечетно.
Подскажите какой прием тут использовать.

[TOTAL]

Решайте квадратное уравнение $p(p+9)=k^2-7$ относительно $p.$
При каком $k$ оно имеет целое решение?

[Fsb4000]

$p^2 + 9p +7 -k^2 = 0$
$D = 81 - 4 \cdot 7 + 4k^2 $
$ p = \frac {-9 \pm \sqrt{53 + 4k^2}}{2} $
Значит $53 + 4k^2$ должен быть нечетный квадрат...
$ 53 = b^2 - 4k^2 = (b - 2k) (b+2k)$
53 - простое.
Значит решаем систему : $b - 2k = 1, b + 2k= 53$ Получаем $b=27$ $k=13$
Спасибо за подсказку.