Интегральное уравнение

[teset]

Найти все непрерывные функции на вещественной оси, для которых выполнено $y(x)=e^{x-1}+\int_x^1{y(t)}dt$

[gris]

Интересный у Вас набор задач. И ТВ, и ТФКП, и ОДУ.
В этом разделе полагается свои попытки решения приводить.
Ну хотя бы продифференцируйте уравнение, да найдите очевидное начальное условие.

[teset]

После дифференцирования получилось $y'(x)+y(x)=e^{x-1}$. Его общее решение $y(x)=c_1 e^{-x}+\frac{e^{x-1}}{2}$. Это ответ?

[ewert]

Нет, не ответ. Дифференцирование -- операция не вполне взаимно однозначная. Найдите теперь константу из начального условия в единице.

[gris]

Можно найти $y(1)$ и $c_1$.
Но это будет ответ для дифференцируемых функций, а у Вас в условии непрерывные. Я в сомнениях

Да, действительно, сомнения лишние. Интеграл будет непрерывно дифференцируемой функцией, а дальше "по индукции".

[ewert]

Они, согласно исходному интегральному уравнению, бесконечно дифференцируемы: из непрерывности следует непрерывная дифференцируемость, из непрерывной дифференцируемости -- двукратная непрерывная дифференцируемость...

[teset]

$y(x)=\frac{e^{1-x}+e^{x-1}}{2}$. Это и есть ответ?

[ewert]

Да.

[teset]

Спасибо