Найти пополнение

[kkar]

Если есть такое пространство со скалярным произведением: $S=sp\{e_0,e_1,e_2,...\}, \quad e_0=\sum \frac{1}{n} e_n, \quad e_n$ - бесконечномерный вектор, на n-й позиции которого стоит 1, а на всех остальных - 0, скалярное произведение определяется как обычно, то как найти пополнение к этому пространству? Надо присоединять пределы всевозможных последовательностей? Или что?

[MaximVD]

У вас ведь каждый элемент $S$ - это последовательность чисел?
Сперва стоит в явном виде выписать норму в пространстве $S$ и внимательно на неё посмотреть. Ничего не напоминает?

[kkar]

Выписываю:
$||e_n||=1,\quad n\ne 0;\quad ||e_0||=\frac{\pi ^2}{6}$.
Очень внимательно смотрел, но так и не сообразил, на что это похоже. Надеюсь на Вашу подсказку.

[ewert]

Чему конкретно равна норма нулевого элемента -- не важно (Вы, кстати, там корень потеряли); важно лишь, что она конечна, т.е. что этот элемент принадлежит $l_2$. И надо лишь показать, что эта линейная оболочка плотна в $l_2$. Что для этого достаточно сделать?...

[kkar]

Надо показать, что для $\forall f\in l_2 \quad \exists f_n\in S : f_n\to f?$

А вот еще такой вопрос: как найти замыкание в $l_2$ такого множества: $sp\{e_1, e_3, e_5,...\}$?. У меня получается, что это замыкание есть $sp\{e_0,e_1, e_3, e_5,...\}$. Правильно ли у меня получилось?