Сходимость последовательности

[myra_panama]

Доказать , что последовательность

$$x_n=\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!} ,$$

$n\ge 1$
сходиться и найти его предел.
у меня как то не получилось ...
ммм можно использовать формулу Стирлинга.... черт что с ним делать...

[venco]

myra_panama в сообщении #414078 писал(а):

можно использовать формулу Стирлинга...

Дык, её и используйте.

[gris]

Как что? Оценить, чему с сумасшедшей точностью равен каждый радикал.

[myra_panama]

gris в сообщении #414083 писал(а):

Оценить, чему с сумасшедшей точностью .

как это оценит .... это же сумасшедший последовательность......

[gris]

Ну рассмотрите последовательность $a_n=\sqrt[n]{n!}$.

[myra_panama]

ммм....
у меня еще так получилось...
имеем $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{\sqrt[n]{n!}}=1$
отсюда ,
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{\sqrt[n]{n!}}=0$
дальше как надо найти $x_n$??....

[gris]

Ну знаете, для последовательности $y_n=n$ отношение $\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}\,\text{тоже}\to 1$, но разность соседних членов равна единице.

Найдите $\lim\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

[sup]

Интересно бы все это получить без формулы Стирлинга. "Элементарными" средствами легко установить, что
$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$
Но этого мало.

[gris]

Мало.
Например для последовательности 1;1;3;3;5;5;7;7... предел $a_n/n$ равен 1, но последовательность разностей соседних членов предела не имеет.

[ewert]

sup в сообщении #414105 писал(а):

"Элементарными" средствами легко установить, что
$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$
Но этого мало.

Ну не так уж и мало:

$\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{n!}\left(e^{\frac{\ln(n+1)!}{n+1}-\frac{\ln n!}{n}}-1\right)\sim \dfrac{n}{e}\left(\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}-\dfrac{\ln n!}{n(n+1)}\right)=$

$=\dfrac{1}{(n+1)e}\left(n\,\ln(n+1)-\ln n!\right)\sim\dfrac{1}{ne}\left(n\,\ln n-\ln n!\right)=\dfrac{1}{e}\cdot\ln\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to\dfrac{1}{e}.$

Если ничего не напутал, но в любом ведь случае пройдёт.

[sup]

Да, здорово, классный вывод. Мне казалось, что все гораздо сложнее. Все что потребовалось, это для малых $x$
$e^x-1 =x(1+o(1))$
Таким образом хватает одного лишь определения
$\lim \limits_{n \to \infty} \left (\dfrac {n+1}{n} \right )^n =e$
Применяя к этой последовательности среднее геометрическое, получим
$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac {n}{\sqrt[n]{n!}} =e$
А возводя в степень $x$ получим
$e^x-1 =x(1+o(1))$