Линейное дифференциальное уравнение 4 порядка

[Kiss50]

Подскажите, каким методом можно решить следующее уравнение (или в каких книгах поискать):

$$w_{tt}+g*w_t+w_{xxxx}+b*w_{xx}=0,$$

со следующими краевыми условиями:

$$w(t,0)=w(t,\pi)=0;$$

$$w_{xx}(t,0)=w_{xx}(t,\pi)=0, $$

где g>0, b>0, а $w_t$ - производная 1го порядка по t, $w_{tt}$ - производная 2го порядка по t, $w_{xxxx}$ - производная 4го порядка по x, и соответственно $w_{xx}$ - производная 2го порядка по x.

AKM:

Мне подумалось, что Ваше $pi$ --- это всем нам привычное $\pi$, и я произвёл соответствующие исправления. Звоните в колокол, если я ошибся.

[sup]

Разложите решение по собственным функциям соответствующего оператора по $x$.
$w(x,t) = \sum \limits_{n}a_n(t)v_n(x)$, где $v_n(x)$ собственные функции
$v_n'''' + bv_n'' + \lambda_nv=0$, $v_n(0)=v_n(\pi)=0, v_n''(0)=v_n''(\pi)=0.$
Но Вы не указали на каком интервале по $t$? И какие условия на "концах" того интервала?

[Oleg Zubelevich]

Кое-что про билаплас.

Пусть $M\subset\mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей. Рассмотрим задачу

$$\Delta^2 u(x)=f(x)\in L^2(M),\quad u\mid_{\partial M}=\Delta u\mid_{\partial M}=0.\qquad (*)$$

Введем пространство $F=H^1_0(M)\cap H^2(M)$. И множество

$$G=\{u\in F\mid \Delta^2 u\in L^2(M),\quad\forall v\in F:\quad (\Delta^2u,v)=(\Delta u,\Delta v)\}.$$

Здесь $(,)=(,)_{L^2(M)}.$ Пространство $F$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $(u,v)_F=(\Delta u,\Delta v).$ Это скалярное произведение эквивалентно на $F$ стандартному скалярному произведению пространства $H^2(M)$. (Оператор $\Delta: F\to L^2(M)$ непрерывен в смысле топологии $F$ индуцированной из $H^2(M)$ и обратим.)

Определение. Назовем обобщенным решением задачи (*) функцию $u\in G$ которая удовлетворяет следующему соотношению

$$\forall v\in F:\quad (u,v)_F=(f,v).\qquad (**)$$

По теореме Рисса существует и единственная функция $u\in F$ удовлетворяющая соотношению (**). Причем $\|u\|_F\le c\|f\|_{L^2(M)}.$
Покажем, что $u\in G$. Действительно, для любой $\psi\in\mathcal{D}(M)$ из формулы (**) следует, что $(u,\Delta^2\psi)=(f,\psi)$. Откуда следует, что $\Delta^2 u=f$. И соответственно $(\Delta^2u,v)=(f,v)=(u,v)_F$.