Тангенс 36 градусов

[Sasha2]

Верно ли, что тангенс 36 градусов равен $\frac{\sqrt[4]{20}}{4}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^3}$

В учебнике дается другой ответ:
Считал через сторону правильного 5-угольника, вписанного в единичную окружность.
Тогда синус равен половине этой стороны, а косинус есть апофема.
Сторона правильного 5-угольника, вписанного в единичную окружность, равна $\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$

P.S. В ответе то же самое, только вместо $\sqrt[4]{20}$ (корень четвертой степени из двадцати) дается $\sqrt{10}$ (корень квадратный из десяти).

[caxap]

http://m.wolframalpha.com/input/?i=tan(Pi/5)

(Могу предложить другой путь)

Корни многочлена $x^5-1$ -- это корни пятой степени из единицы, то есть $\cos \frac{2\pi k}5+i\sin\frac{2\pi k}5$. По теореме Виета, сумма всех корней равна нулю (коэффициент при $x^4$ нулевой), в частности равна нулю вещественная часть. Отсюда получаем уравнение относительно $\cos \frac{2\pi}5$: $4x^2+2x-1=0$. Находим $x=\frac{\sqrt{5}-1}4$, находим половинный угол, затем синус и тангенс.

[Cute]

Sasha2, преобразуйте выражение $\left( {\cos 36^0 + i \cdot \sin 36^0 } \right)^5$
двумя способами: 1) по формуле бинома Ньютона; 2) по первой формуле Муавра.
Далее приравняйте мнимые части двух записанных результатов, тогда получится однородное уравнение относительно $\cos 36^0$ и $\sin 36^0$, которое легко приводится к алгебраическому уравнению относительно $\tg36^0$.

[мат-ламер]

Ещё вариант - координаты правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, можно найти, решая уравнение $z^5-1=0$.