2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка погрешности (рекуррентное неравенство)
Сообщение14.02.2011, 16:05 


07/04/10
43
Украина
Помогите, пожалуйста, по заданной оценке
$|x_n-x_{n-1}|<a|x_{n-1}-x_{n-2}|+b|x_{n-2}-x_{n-3}|$ перейти к оценке $|x_n-x_{n-1}|<c|x_{1}-x_{0}|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 16:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Во-первых, перепишите в более внятной форме: $r_n\leqslant ar_{n-1}+br_{n-2}\ \Rightarrow\ r_n\leqslant cr_1$. Во-вторых, всё равно ничего не выйдет: у Вас разностное неравенство второго порядка, и для оценки понадобятся не одно, а два начальных условия.

Откуда вопрос-то?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 16:33 


26/12/08
1813
Лейден
Ну, тут наверное можно по-разному. Например, так. Обозначим Ваше неравенство как
$$
D_n\leq aD_{n-1}+bD_{n-2}.
$$
Применим это неравенство к $D_{n-1}$ и подставим ($D_{n-2}$ не трогаем), получим
$$
D_n\leq (a^2+b)D_{n-2}+abD_{n-3}.
$$
После этого применям первое неравенство к $D_{n-2}$ и так далее. Степень многочленов будет увеличиваться каждый раз на 1. Плюс этого метода в том, что Вы оцениваете через все те же 2 соседних члена. Получается, что если
$$
D_n\leq p_k(a,b)D_{n-k}+q_k(a,b)D_{n-k-1},
$$
то
$$
p_{k+1} = ap_k+q_k, \quad q_{k+1} = bp_k.
$$

И меня уже опередили - Вам и правда нужна оценка через первые две разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 19:28 


07/04/10
43
Украина
Я ищу оценку погрешности алгоритма Фюрстенау (трехмерное обобщение цепных дробей).
Пусть $\delta_n=\frac{P_n}{P_{n-1}},$ где $P_n=qP_{n-1}+pP_{n-2}+rP_{n-3},\,P_{0}=1,P_{<0}=0$, причем $q,p,r\geqslant 0$
$|\delta_n-\delta_{n-1}|=|q+\frac{p}{\delta_{n-1}}+\frac{r}{\delta_{n-1}\delta_{n-2}}-q-\frac{p}{\delta_{n-2}}-\frac{r}{\delta_{n-2}\delta_{n-3}}|\leqslant \frac{p}{|\delta_{n-1}\delta_{n-2}|}|\delta_{n-1}-\delta_{n-2}|+\frac{r}{|\delta_{n-1}\delta_{n-2}\delta_{n-3}|}|\delta_{n-1}-\delta_{n-3}|\leqslant a|\delta_{n-1}-\delta_{n-2}|+b|\delta_{n-1}-\delta_{n-2}+\delta_{n-2}-\delta_{n-3}|\leqslant (a+b)|\delta_{n-1}-\delta_{n-2}|+b|\delta_{n-2}-\delta_{n-3}|$

Мне нужна оценка
$|\delta_n-\delta_{n-1}|\leqslant \alpha^{n-3}|\delta_3-\delta_2|$ Как ее получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
У, круто! А чё за алгоритм-то?
(Оценку Вы, в сущности, уже получили. Там эта рекуррентность свернётся аналогично формуле Бинэ для чисел Фибоначчи, и всё будет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 22:14 


07/04/10
43
Украина
Достаточные условия сходимости алгоритма (Furshtenau E. Uber Kettenbruche hohere Ordnung // Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik. --- 1876. --- S. 133--135.) нашел Круковский. Я хочу исследовать скорость его сходимости и сравнить с другими алгоритмами, например, Бруно или Вороного.

Но $\alpha$ я не нашел. Как его найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Как наибольший по модулю корень уравнения $q^2=aq+b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение14.02.2011, 22:57 


07/04/10
43
Украина
Разве $\alpha$ равно наибольшему корню приведенного Вами уравнения? С теорией линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами я знаком. Находим общее решение, а потом...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение15.02.2011, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да в общем-то и всё. Я ничего более хитрого не подразумевал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности
Сообщение15.02.2011, 07:54 


07/04/10
43
Украина
Спасибо, ИСН
за всегдашнюю помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group