Случайная величина и фильтрация сигма-алгебр

[trostewus]

Имеется случайная величина $\tau $ и фильтрация $\sigma $-алгебр ${F}_{t}$.
Почему $\{\omega \in \Omega : \tau(\omega) < t\}$ принадлежит ${F}_{t}$, а $\{\omega \in \Omega : \tau(\omega) \leq t\}$ вобще говоря не принадлежит?..(используем, к примеру, при выводе достаточного условия того, чтобы случайная величина была марковским моментом).

[Gortaur]

Здесь дело в непрерывности $\sigma$-алгебр.

[trostewus]

нет..если эти алгебры непрерывны (справа), то мы сможем из первой принадлежности вывысти вторую...а то, что я написал, имеет место и в общем случае..

[Gortaur]

Ага, перепутал. Тогда не ясен вопрос - то это верно в общем случае, то нет. Или вопрос уже снят?

[trostewus]

Вопрос в силе..если ничего не известно о непрерывности, то первое множество всегда принадлежит ${F}_{t}$ (почему?), а второе нет (почему?)...

[Gortaur]

Между прочим, если $\tau$ - случайная величина, то у Вас первое утверждение неверно. Почему событие $\{\tau<t\}\in\mathcal{F}_t$?

[trostewus]

Вот как-раз это я и пытался понять...на лекции при доказательстве того, что "если фильтрация непрерывна справа, то случайная величина является марковским моментом" лектором была сказана фраза "так как $\tau$- случайная величина, то $\{\omega \in \Omega : \tau(\omega) < t\}\in\mathcal{F}_t$

[Gortaur]

А. Ну это неверное. Возьмите например случайную величину - аргумент максимума процесса на бесконечном временном промежутке - тогда для любого $t$ данная импликация не выполнена.