как можно проверить

[derzki]

является ли верным утверждение что $\max \frac{x^2}{e^x - 1} = \frac{2}{\pi}$ где $x \geq 0$. Есть лишь подозрение, основанное на том каким образом такая задача возникла, что это так. Симулация показывает что вроде как это правда, но можно ли как нибудь показать это аналитически?

Довольно легко показать что эта функция не превосходит $\frac{2}{e}$.

спасибо

[reader_st]

derzki

Если я не ошибаюсь, то такие задачи решались с помощью производной. Точкой экстремума является
x=0. Тем более, что при x=0 функция не определена.

[PAV]

Точка $x=0$ есть точка минимума (естественно, после доопределения функции по непрерывности). Но есть и точка максимума. Сходу найти ее явно не удается, так как в уравнении нуля производной одновременно входит экспонента и степени иксов.

[Аурелиано Буэндиа]

точка максимума определяется уравнением

$$ (x-2)e^x+2=0 $$

Maple дает решение

$$ x_m=LambertW(-2e^{-2})+2 \approx 1.59362426 $$

подставляем в

$$ f(x)=\frac{x^2}{\exp(x)-1} $$

находим, что

$$ f(x_m) \approx .64761024 $$

для сравнения

$$ \frac{2}{\pi} \approx .63662 $$

поэтому

$$ \max_{x>0} \left( \frac{x^2}{\exp(x)-1} \right) \neq \frac{2}{\pi} $$

[reader_st]

Аурелиано Буэндиа

Эту оперцию в Maple я также проделовал, но не знаю, можно ли так категорично утверждать что

$$\max_{x\ge 0} \left(\frac{x^2}{e^x-1} \right) \neq \frac{2}{\pi}$$

, если отличие встретилось только на 2 знаке после запятой.

[незваный гость]

Сто знаков устроит? Mathemaica:
max = 0.647 610 237 891 914 859 647 201 961 975 954 581 209 020 672 096 507 710 828 407 198 941 970 015 385 167 610 515 904 517 168 394 932 3,
$2/\pi$ = 0.636 619 772 367 581 343 075 535 053 490 057 448 137 838 582 961 825 794 990 669 376 235 587 190 536 906 140 360 455 211 065 012 343 8

Серьезно, для статьи можно использовать интервальные вычисления. Там точность полностью контролируется.

[reader_st]

незваный гость

Я имел ввиду не количество знаков, а то, что обе величины вычислены численно, приближенно. А если решить получившиеся уравнение (при взятие производной) численно, по крайней мере можно сравнить результат.

Добавлено.

Раз уж коснулись публикации результата, то хотелось бы спросить: допускается ли ссылка на результат полученный хоть в том же Maple, если мы не знаем как подобного рода СКМ этот результат получают (в смысле алгоритма). Скажем есть теоретическое обоснование решения экстр. задачи, доказано что экстремум единств. и Maple результат выдает.

[незваный гость]

Я понял Ваш вопрос сразу. Сто знаков было немного иронически, но имело под собой серьезный аспект. При указаниии точности Mathematica контролирует точность вычислений. Это означает, что все сто знаков числа верные.

Я бы не стал на это ссылаться, как на доказательство, в статье. Там, скорее всего, нужны либо аналитические, либо интервальные методы.

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

reader_st писал(а):

допускается ли ссылка на результат полученный хоть в том же Maple, если мы не знаем как подобного рода СКМ этот результат получают (в смысле алгоритма). Скажем есть теоретическое обоснование решения экстр. задачи, доказано что экстремум единств. и Maple результат выдает.

Это более подробно обсуждается в статье Девиса, пару раз цитированной Котофеичем. Скорее всего, с Maple ответ и отрицательный (как доказательство) и положительный (как приближенное значение).