Теорема о неявной функции

[Bridgeport]

Имеется: $f: {\mathbb R^n} \to {\mathbb R}, \quad f \in C^1, \quad f(0)=0, $ и $ \quad g=(g_1,..., g_n), \quad g :{\mathbb R^n} \to {\mathbb R^n}, \quad g \in C^1, \quad g(0)=0, \quad Dg(0) $ обратима. Требуется доказать существование отрытой окрестноти ноля $U \subset {\mathbb R^n}$ и непрерывной функции $h = (h_1, ..., h_n): U\to {\mathbb R^n}$ таких что для $\forall x \in U$ верно $f(x)=h_1(x)g_1(x)+...+h_n(x)g_n(x)$

Какое-то разложение на базисе, но как подступиться неясно.

[ewert]

Ну, теорема об обратной функции говорит о том, что достаточно считать $\vec g(\vec x)\equiv\vec x$, т.е. доказывать надо, что $f(\vec x)=\sum h_i(\vec x)\cdot x_i=\big(\vec h(\vec x),\vec x\big)$. Если функция $f$ линейна, то утверждение тривиально. А если вычесть из неё её же главную линейную часть, то градиент в нуле станет нулевым и, значит, подойдёт функция $\vec h(\vec x)=\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)$ (но не только она, конечно).

[Bridgeport]

Немного я не пойму, как можно получить $g(x)=x$ из теоремы об обратной функции?/

[ewert]

Если $x=x(g)$ -- обратная функция, то
$f(x)=h_1(x)g_1(x)+...+h_n(x)g_n(x)\ \Leftrightarrow\ \widetilde f(g)=\widetilde h_1(g)g_1+...+\widetilde h_n(g)g_n$,
где $\widetilde f(g)\equiv f(x(g))$ и $\widetilde h(g)\equiv h(x(g))$.

[Bridgeport]

Ага, теперь вроде ясно. Спасибо!

Следующий вопрос: что значит вычесть главную линейную часть? Я могу воспользоватся теоремой Тейлора.

$f(\vec{x})=f(\vec{0})+Df(\vec{0})\cdot \vec{x}+o(|\vec{x}|^2)$.

но как продолжить неясно. В ряде Тейлора пригодится $f(\vec{0})=0$. А где-нибудь требуется, что $g(\vec 0)=\vec 0$?

Кстати, предложенная функция $h(\vec x) =\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)$ является ли она непрерывной в нуле, мы ведь про поведение $f$ в нуле ничего не знаем?

[ewert]

Bridgeport в сообщении #413127 писал(а):

А где-нибудь требуется, что $g(\vec 0)=\vec 0$?

Не требуется, это лишь для упрощения формулировки.

Bridgeport в сообщении #413127 писал(а):

Кстати, предложенная функция $h(\vec x) =\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)$ является ли она непрерывной в нуле, мы ведь про поведение $f$ в нуле ничего не знаем?

Знаем. После вычитания главной линейной части окажется $f(\vec x)=o(|\vec x|)$, поэтому $\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)$ будет стремиться к нулю в нуле.

Ладно, вот явно: $\vec h(\vec x)=\vec\nabla f(\vec x)+\frac{\vec x}{|\vec x|^2}\big(f(\vec x)-\vec\nabla f(\vec x)\cdot\vec x\big)$.

[Bridgeport]

После длительных раздумий...

Эту задачу лучше разбирать в одномерном случае (для начала), тогда все становится ясно $h(x)=f(x)/x$ и предел существует в силу фундаментальной теоремы анализа. Кстати, я ошибся, когда выписывал теорему Тейлора. Так как $f \in C^1$, то интегрирование по частям можно применить только один раз: $f(x)=\int_0^xf'(t)dt$

Теперь, мне не ясно как можно доказать в многомерном случае что $\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|^2}f(x)$ существует?

Я не знаю как формализовать ваш аргумент :

Bridgeport в сообщении #413127 писал(а):

После вычитания главной линейной части окажется $f(\vec x)=o(|\vec x|)$

.



В многомерном случае теорема Тейлора имеет вид $f(x)=\int_0^1\nabla f(xt)\cdot x dt$ и не ясно о каких $o(|x|)$ идет речь

Подскажите, где моя ошибка?

[ewert]

Bridgeport в сообщении #415877 писал(а):

Теперь, мне не ясно как можно доказать в многомерном случае что $\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|^2}f(x)$ существует?

Тривиально: $\vec\nabla f(\vec 0)=\vec 0$ по определению означает, что $f(\vec x)=o(|\vec x|)$ и, следовательно, $\lim\limits_{\vec x\to \vec 0}\left|\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)\right|=\lim\limits_{\vec x\to \vec 0}\frac{|f(\vec x)|}{|\vec x|}=0$. А интегрирования по частям тут вовсе не при чём.

[Bridgeport]

Большое спасибо, я, кажется все понял. Единственно, что я бы представление $\vec{h}(\vec{x})$ записал бы по-другому: $\vec{h}(\vec{x})=\nabla \vec{f}(\vec{0})+\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|^2}(\vec{f}(\vec{x})-\nabla\vec{f}(\vec{0})\cdot \vec{x})$

Так мне кажется, что определение производной виднее, и похоже нам не требуется $C^1$, а дифференцируемости $f$ достаточно.

[ewert]

Bridgeport в сообщении #416760 писал(а):

Единственно, что я бы представление $\vec{h}(\vec{x})$ записал бы по-другому: $\vec{h}(\vec{x})=\nabla \vec{f}(\vec{0})+\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|^2}(\vec{f}(\vec{x})-\nabla\vec{f}(\vec{0})\cdot \vec{x})$

Да, я именно это и имел в виду, а иксы подставил под градиент по рассеянности. Впрочем, вариант с иксами тоже сойдёт.

Bridgeport в сообщении #416760 писал(а):

Так мне кажется, что определение производной виднее, и похоже нам не требуется $C^1$, а дифференцируемости $f$ достаточно.

Ну как сказать. В этом месте -- да, но для теоремы об обратной функции всё-таки требуется именно непрерывная дифференцируемость.

[Bridgeport]

ewert в сообщении #416772 писал(а):

Ну как сказать. В этом месте -- да, но для теоремы об обратной функции всё-таки требуется именно непрерывная дифференцируемость.

Но теорему об обратной функции мы применяем только к функции $g$, а про обратимость $f$ нам все равно ничего не известно.

[Bridgeport]

И последний вопрос...

От одномерного случая $h(x)=f(x)/x$ можно перейти к многомерному $\vec{h}(\vec{x})=\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|^2}f(\vec{x})$, если сильно подумать.

А какие еще возможны решения?

Bridgeport в сообщении #412404 писал(а):

подойдёт функция $\vec h(\vec x)=\frac{\vec x}{|\vec x|^2}f(\vec x)$ (но не только она, конечно).

Что еще вы имелли ввиду?

[ewert]

Bridgeport в сообщении #417380 писал(а):

Что еще вы имелли ввиду?

Добавка любого поля $\vec h(\vec r)$ такого, что $\vec h(\vec r)\perp\vec r$, ничего не изменит.

[Bridgeport]

Понятно, спасибо!