Биноминальный ряд

[Vvp_57]

Докажите, что:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty } \binom{3k}{k}\left ( \frac{25k^2-k-6}{\left ( 2k+1 \right )13^k} \right )=6$

[maxal]

Легко выводится из формулы:

$$\sum_{n = 0}^{\infty} \binom{3k}{k} x^k = \frac{2}{\sqrt{4-27x}}\cdot \cos\frac{\arcsin\frac{\sqrt{27x}}{2}}{3}.$$

[myra_panama]

Цитата:

$$\sum_{n = 0}^{\infty} \binom{3k}{k} x^k = \frac{2}{\sqrt{4-27x}}\cdot \cos\frac{\arcsin\frac{\sqrt{27x}}{2}}{3}.$$

но здесь $x^k$ /// это $ ( \frac{25k^2-k-6}{\left ( 2k+1 \right )13^k} \right )$??

[maxal]

myra_panama
Ну так сведите это к производным/интегралам от указанной функции.

[Vvp_57]

Спасибо, maxal, за оригинальную формулу! Если не секрет, как Вы ее вывели? И можно ли так же вывести формулу для суммы:
$\sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{4k}{k}x^k$?

[maxal]

Vvp_57
См. формулу обращения Лагранжа в форме диагонализации в конце раздела 1: http://www.emis.de/journals/DMTCS/pdfpa ... AD0136.pdf
Возьмите $F(t) = 1$ и $\phi(t) = (1+t)^3$ или соответственно $\phi(t) = (1+t)^4$.