аналитическое решение задачи Коши

[OcbMuHor]

Я впервые встречаюсь с подобным уравнением и пока еще не понимаю что с ним делать. Вот что дано:
$\[\begin{gathered} f(t,y) = t{e^{ - {t^2}}} + \sin t - 2ty \hfill \\ {y_0} = 1,{t_0} = 0,T = 1 \hfill \\ \end{gathered} \]$

Вот есть формула (общая, не из конкретной задачи)
$\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} y' = f(t,y(t)) \hfill \\ y({t_0}) = {y_0} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ t \in [{t_0},T] \hfill \\ \end{gathered} \]$
Меня сбивает с толку то, что операнд $\[y\]$ выступает в качестве функции $\[y(t)\]$. Подскажите к чему нужно привести исходные данные, так сказать что делаем сначала.

[AKM]

OcbMuHor в сообщении #412267 писал(а):

Я впервые встречаюсь с подобным уравнением
$\[\begin{gathered} t*{e^{ - {t^2}}} + \sin t - 2ty \hfill \\ \ldots \end{gathered} \]$

Уравнения, собственно, не видно. Что чему равно?
Вы пишете много лишнего в формулах. Зачем этот \hfill? Производная пишется просто y' .
Звёздочка в качестве умножения не используется. \cdot или, как в данном случае, ничего.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения (она активна в течение часа).

Производная пишется просто y' (y штрих, т.е. апостроф, который на клавише Э).

[gris]

Это обычный приём для задания серии однотипных задач. Приводится схема задачи, а затем конкретизирующие её условия, часто связанные с номером варианта. Тут надо всего лишь решить линейное неоднородное уравнение первого порядка с начальным условием.
$y'= te^{ - {t^2}} + \sin t - 2ty $
$y(0) = 1$
на отрезке $[0;1]$.
В ответе, возможно, надо привести значение функции на конце отрезка.

[myra_panama]

gris в сообщении #412280 писал(а):

$y'= te^{ - {t^2}} + \sin t - 2ty $
$y(0) = 1$

да ... правильно..
решить уравнение очень просто ...
с начало решаем однородное урав-е . Получаем

$$y=ce^{-t^2}$$

и используем метод вариацию постоянного найдем c
$c'(t)=t+e^{t^2}\sin t$
отсюда,
$c(t)=\frac{t^2}2+\int e^{t^2}\sin t dt +c_1 $
дальше найдем 'c' используя условия y(0)=1

[Aleksandrito]

Это элементарная задача решения неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Заменой вида $y = p \cdot q$ c с последующей подстановкой и сводится к уравению с разделяющимися переменными для одной из ф-ций (p или q), полученное решение подставляется в уравнение для которого была произведена замена и подстановка, и получается второе уравение с разделяющимися переменными, из которого определяется вторая неизвесная ф-ция (q или p) с постоянной интегрирования.
Общее решение исходного ур-ния является произведением двух найденных функций.
При подстановке начальных условий определяется вид функции решения для заданных начальных условий и если требуется определяется значение ф-ции в заданной точке.

-- 12 фев 2011, 20:28 --

Метод является упрощённым методом варирования постоянной интегрирования.

[OcbMuHor]

народ, спасибо всем за участие. В общем вот что у меня началось проявлятся: $\[{y^'} + 2ty - t{e^{{t^2}}} = \sin t\]$ , $\[{y^'} + p(t)y = q(t) + f({t^2})t\]$, где $\[p(t)y = 2ty,q(t) = \sin (t),f({t^2})t = t{e^{{t^2}}}\]$. Далее пусть для краткости пока $\[g(t) = q(t) + f({t^2})t\]$. Тогда $\[y = \left( {\int {g(t) \cdot {e^{\int {p(t)dt} }}dt + C} } \right) \cdot {e^{ - \int {p(t)dt} }}\]$. И подставляя значения получим $\[y = \left( {\int {(\sin t + t{e^{{t^2}}}){e^{\int {2tdt} }}dt + C} } \right){e^{ - \int {2tdt} }}\]$ Верно ведь?

[myra_panama]

Цитата:

$\[y = \left( {\int {(\sin t + t{e^{{t^2}}}){e^{\int {2tdt} }}dt + C} } \right){e^{ - \int {2tdt} }}\]$

да так..
отсюда , подставим условия $y(0)=1$ получаем,
с=1