Геометрическая задача (10 класс)

[volk555]

Дан прямоугольный треугольник АВС (С=90 градусов), в нем окружность с радиусом $r$. Нужно доказать что $\dfrac{r^2}{m^2_1+m^2_2}\le \dfrac1{20}$ . $m_1$ и $m_2$ это медианы опущенные из вершин А и В.

[AKM]

Может, для начала, выразим медианы через катеты?

[ewert]

И ещё площадь через катеты и площадь через радиус и полупериметр. А потом сделаем гипотенузу единичной. А потом, если по-хорошему, то надо бы принять катеты за синус с косинусом и разобраться с полученным неравенством (оно несложное).

Но авторы задачки явно считали по-плохому и думали в сторону неравенств $4ab\leqslant2$ и $a+b\geqslant1$ (при условии, что $c=1$). В результате оценку они загрубили. Не шибко изящно.

[volk555]

ewert в сообщении #412246 писал(а):

И ещё площадь через катеты и площадь через радиус и полупериметр. А потом сделаем гипотенузу единичной. А потом, если по-хорошему, то надо бы принять катеты за синус с косинусом и разобраться с полученным неравенством (оно несложное).

Но авторы задачки явно считали по-плохому и думали в сторону неравенств $4ab\leqslant2$ и $a+b\geqslant1$ (при условии, что $c=1$). В результате оценку они загрубили. Не шибко изящно.

Это задача кажется из "Кванта". так наш препод сказал

[ewert]

Да хоть из двух квантов, какая разница-то, откуда. Вы сделали всё то, что нами тут было предложено?...