Нахождение стационарного распределения температуры

[Borodach]

Здравствуйте, дана задача:
Внутри бесконечного проводника прямоугольного сечения выделяется тепло постоянной плотности $q$ , на поверхности происходит теплообмен со средой температуры $T_0 = 1$ . Найти стационарное распределение температуры по сечению.

Получил следующую постановку задачи:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial ^2U}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2U}{\partial y^2}+q=0,\\ \frac{\partial U}{\partial x}\left|_{x=0}=0, \frac{\partial U}{\partial y}\left|_{y=0}=0, \\ \frac{\partial U}{\partial x}+\alpha U\left|_{x=a}=\alpha T_0, \frac{\partial U}{\partial y}+\alpha U\left|_{x=b}=\alpha T_0 \end{array} \right. $

Подскажите, пожалуйста, где можно найти материалы по процессу решения уравнения Пуассона (если это, конечно, оно)? Правильно ли записана постановка сама по себе?

P.S. Как выравнивать формулу по центру? (Может, где и написано, но просмотрел.)

[myhand]

Поясните, пожалуйста, обозначения и "получение постановки задачи". Т.к. беглый взгляд на "полученое" говорит в пользу того, что "получено" черти что.

Borodach в сообщении #412024 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где можно найти материалы по процессу решения уравнения Пуассона

Начать с "Уравнений математической физики" Тихонова и Самарского.

Borodach в сообщении #412024 писал(а):

P.S. Как выравнивать формулу по центру? (Может, где и написано, но просмотрел.)

Например, так:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y)\eqno{(1)}$$

[ewert]

Borodach в сообщении #412024 писал(а):

на поверхности происходит теплообмен со средой температуры $T_0=1$

В каком смысле? Это можно понимать как теплообмен через стенку -- а можно как просто поддержание на границе постоянной температуры. Это разные задачи.

[Borodach]

myhand в сообщении #412136 писал(а):

Поясните, пожалуйста, обозначения и "получение постановки задачи".

Поскольку проводник бесконечный, то можно рассматривать только его сечение. Если поместить центр сечения в начало координат плоскости $XY$ и рассмотреть только его четверть, то получается, что стенки $x=0$ и $y=0$ теплоизолированы, а на двух других стенках происходит теплообмен по закону Ньютона с коэффициентом теплопередачи $\alpha$.

ewert в сообщении #412149 писал(а):

Borodach в сообщении #412024 писал(а):

на поверхности происходит теплообмен со средой температуры $T_0=1$

В каком смысле?

В смысле теплообмена через стенку.

[ewert]

Понятно. Ну (возможно, с точностью до знаков -- лень в них разбираться) верно. Решайте методом Фурье. Правда, точно собственных чисел найти не удастся, ну что уж поделать.

[myhand]

Borodach в сообщении #412209 писал(а):

получается, что стенки $x=0$ и $y=0$ теплоизолированы

Чушь. Ничего подобного не получается. Вторая пара уравнений означает нечто иное.

Третья пара уравнений - до сих пор неверна (может и опечатка).

[ewert]

myhand в сообщении #412243 писал(а):

Чушь. Ничего подобного не получается.

Вполне получается. Это -- стандартный приём, позволяющий учесть симметрию задачи.

myhand в сообщении #412243 писал(а):

Третья пара уравнений - до сих пор неверна

Что именно неверно?... Стандартный теплообмен через стенку по закону Ньютона.

[myhand]

ewert в сообщении #412255 писал(а):

Это -- стандартный приём, позволяющий учесть симметрию задачи.

Ну так и стоит написать. Причем здесь "теплоизолированы"?

ewert в сообщении #412255 писал(а):

Что именно неверно?... Стандартный теплообмен через стенку по закону Ньютона.

А Вы внимательнее приглядитесь. Ну, дождемся ответа автора.

[ewert]

myhand в сообщении #412262 писал(а):

Причем здесь "теплоизолированы"?

При том, что они фактически именно теплоизолированы -- в силу симметрии поток тепла через эти линии нулевой.

myhand в сообщении #412262 писал(а):

А Вы внимательнее приглядитесь.

Пригляделся. Разве что скобки опущены да во втором уравнении опечатка -- икс вместо игрека поставлен. Ну это несерьёзно. А так -- даже знаки правильные.

[Borodach]

Спасибо, попытаюсь чего нибудь нарешать с помощью Тихонова Самарского. За опечатку прошу прощения.

[Aleksandrito]

Посмотрите Н.М. Беляев А.А, РЯдно Методы нестационарной теплопроводности в начале книжки аналогичная вашей задача точно рассмотрена.