Задачка с/для КР по МА (вычислить предел)

[Mr. X]

Вычислить предел

$$\lim _{n\to\infty}\; n\int\limits_1^{+\infty}\!\frac{1+x^{n}}{1+x^{2n}}\;dx\,.$$

[mihiv]

После замены:$x=\frac 1t$ получим $I_n=\int \limits _1^\infty \dfrac {1+x^n}{1+x^{2n}}dx=\int \limits _0^1\dfrac {t^{2n-2}}{1+t^{2n}}dt+\int \limits _0^1\dfrac {t^{n-2}}{1+t^{2n}}dt$,разлагаем в ряд подинтегральные выражения и интегрируем почленно:$I_n=\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\left (\frac 1{2nk-1}+\frac 1{n(2k-1)-1}\right )$,умножая на $n$ и переходя к пределу, получим:

$$\lim _{n\to \infty }nI_n=\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\left (\frac 1{2k}+\frac 1{2k-1}\right )=\frac 12\ln 2+\frac {\pi}4$$

[Mr. X]

Большое спасибо! У меня получился такой же ответ, хотя считал я по-другому.

[Slip]

Замена $u=x^n$ сводит задачу к вычислению предела $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_1^{+\infty}\frac{1+u}{u(1+u^2)}u^{\frac1n}\,du$. Последний интеграл сходится равномерно по $n$ по признаку Вейрштрасса(подинтегральное выражение не превосходит $\frac{(1+u)\sqrt u}{u(1+u^2)}$). Кроме того, $u^{\frac1n}$ сходится к единице равномерно на любом отрезке вида $[1,A]$, поэтому можно перейти к пределу под интегралом. В результате искомый предел равен $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1+u}{u(1+u^2)}\,du$, а этот интеграл уже легко считается и равен $\frac\pi4+\frac12\ln 2$.

[myra_panama]

Slip в сообщении #412087 писал(а):

В результате искомый предел равен $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1+u}{u(1+u^2)}\,du$, а этот интеграл уже легко считается и равен $\frac\pi4+\frac12\ln 2$.

отлично , очень легко получилось и интеграл можно вычислить без проблем......