Последовательность с конечным числом простых

[Xenia1996]

Придумала сама, но, возможно, навеяно прошлым.

Верно ли, что существует возрастающая последовательность натуральных чисел $n_1, n_2, \dots , $ удовлетворяющая следующему условию: для каждого ЦНЧ (целого неотрицательного числа) m неограниченная последовательность $n_1+m, n_2+m, \dots ,$ содержит не более чем конечное число простых чисел?

Если верно, приведите пример такой последовательности.
Если нет, докажите.

[Руст]

Возьмите последовательность $x_n=n!+a,a\ge 2.$.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #411819 писал(а):

Возьмите последовательность $x_n=n!+a,a\ge 2.$.

Зачёт!


А вот на Есайенсине запутались маленько...

[Sonic86]

Ну или, если $a_n, b_n : (\exists n_0) n> n_0 \Rightarrow |a_n|>1, |b_n|>1$, то $a_nb_n$ - искомая.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #411807 писал(а):

Придумала сама, но, возможно, навеяно прошлым.

Верно ли, что существует возрастающая последовательность натуральных чисел $n_1, n_2, \dots , $ удовлетворяющая следующему условию: для каждого ЦНЧ (целого неотрицательного числа) m неограниченная последовательность $n_1+m, n_2+m, \dots ,$ содержит не более чем конечное число простых чисел?

Если верно, приведите пример такой последовательности.
Если нет, докажите.

Если хочется чего-нибудь экспоненциального, то можно положить $n_k$ равным произведению первых $k$ простых чисел плюс 2. Можно ли придумать что-нибудь менее растущее?

[venco]

nnosipov в сообщении #411892 писал(а):

Если хочется чего-нибудь экспоненциального, то можно положить $n_k$ равным произведению первых $k$ простых чисел плюс 2. Можно ли придумать что-нибудь менее растущее?

Например, произведение первых $[\ln k]$ простых чисел.

[Руст]

nnosipov в сообщении #411892 писал(а):

Можно ли придумать что-нибудь менее растущее?

Берите $x_n=k!+a$, где $k$ максимальное натуральное, для которого $f(k)<n$.
В качестве $f(k)$ можно взять

$$k^{k^{k^{k..}}}$$

k этажей. Растет очень медленно.

[nnosipov]

Руст в сообщении #411911 писал(а):

nnosipov в сообщении #411892 писал(а):

Можно ли придумать что-нибудь менее растущее?

Берите $x_n=k!+a$, где $k$ максимальное натуральное, для которого $f(k)<n$.
В качестве $f(k)$ можно взять

$$k^{k^{k^{k..}}}$$

k этажей. Растет очень медленно.

Согласен, можно организовать сколь угодно медленный рост.

[Руст]

Здесь приводились примеры за счет повторений.
На самом деле можно придумать примеры, когда из $x_n=x_m\to n=m$, причем $\frac{x_n}{n}<f(n)$, где $f(n)$ монотонно растет (не целочисленная) к бесконечности как угодно медленно.
Предлагаю построит такой пример в качестве задачи.

[Батороев]

Xenia1996 в сообщении #411807 писал(а):

Верно ли, что существует возрастающая последовательность натуральных чисел $n_1, n_2, \dots , $ удовлетворяющая следующему условию: для каждого ЦНЧ (целого неотрицательного числа) m неограниченная последовательность $n_1+m, n_2+m, \dots ,$ содержит не более чем конечное число простых чисел?

Любая арифметическая прогрессия.

-- 12 фев 2011 16:47 --

Прочитал Ваши дополнительные условия к задаче, сформулированные в Есайенсине, и снимаю свое предложение.