Пусть ось, относительно которой будем считать момент импульс

[Иван_85]

Есть колесо массой $m$ и радиуса $R$. Колесо вращается с угловой скоростью $\omega$. Интересует вопрос: Зависит ли полный момент импульса колеса от оси относительно которой рассматривается движение колеса. Оси рассматриваются только перпендикулярные плоскости колеса.

Проверьте пожалуйста мое решение.
Я решаю так:
Пусть ось, относительно которой будем считать момент импульса отстоит от центра колеса на расстоянии $d$.
Введем систему координат. Ось $z$ направим вдоль оси, а ось $x$ будет в плоскости колеса и проходит через его центр.
Параметрическое уравнение окружности (колеса):
$x=d+R\cos (\omega t)$,
$y=R\sin(\omega t)$.
Единичный вектор касательной к окружности:
$\vec\tau=\frac{\frac{d\vec r}{dt}}{|\frac{d\vec r}{dt}|}=-\sin(\omega t)\vec i +\cos(\omega t)\vec j$.
$d\vec p=\vec v dm=\vec v\frac{m}{2\pi R}dl=R\omega \vec\tau\frac{m}{2\pi R}dl=\frac{\omega m}{2\pi}\vec\tau dl$,
$[\vec r, d\vec p]=(\frac{\omega m}{2\pi}\cos(\frac{l}{R})(d+R\cos(\frac{l}{R}))dl+\frac{\omega m}{2\pi}\sin(\frac{l}{R})R\sin(\frac{l}{R})dl)\vec k=$
$=(\frac{\omega md}{2\pi}\cos(\frac{l}{R})dl+\frac{\omega mR}{2\pi}dl)\vec k$.
$\int [\vec r, d\vec p]=[\frac{\omega mR}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi R}\cos(\frac{l}{R})dl+\frac{\omega mR}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi R}dl]\vec k=[\omega mR^2]\vec k$.
В итоге:
$L=\omega mR^2$.
То есть получается, что момент импульса системы не изменится, если мы передвинем ось поступательно.
PS. Да, кстати, здесь принципиально что колесо имеет осевую симметрию и то, что оно переходит само в себя при вращении.

[12d3]

Угу, причем это справедливо для любого тела в системе отсчета центра масс. Форма тела не важна.
$\vec{L} = \int \left[ \vec{r} \times \vec{v}\right] dm = \int \left[\left( \vec{r_1}+ \vec{d}\right) \times \vec{v}\right] dm = \int \left[ \vec{r_1} \times \vec{v}\right] dm + \left[ \vec{d} \times \left(\int\vec{v}dm\right)\right] = \vec{L_1}+\left[ \vec{d} \times \vec{p}\right] = \vec{L_1}$, т.к. в системе центра масс импульс равен 0.