Супермартингал

[Gortaur]

Пусть есть однородный марковский процесс $X_n$. Может ли быть так, что $g(X_n)$ является $P_x$-супермартингалом для $0\leq n\leq N$, но при это не является супермартингалом для всех $n\geq 0$?

[Хорхе]

Есть собака, у которой морда черная. Может она не вся быть черной?

[svv]

Но если собака однородная?

[Хорхе]

Да, слово "однородный" я как-то пропустил Но все равно может не быть. (Если $x$ фиксировано.)

[Gortaur]

А можете пример привести?

[Хорхе]

Думаю, и Вы можете. "Процесс" можно взять вообще неслучайный.

[Gortaur]

Неслучайный... Ага, например сделать убывание на первых 10 шагах, а на 11ом значении поставить скачок далеко-далеко, где будет возрастание. Например

$$ X_{n+1} = X_n-1, \text{ если } 1\leq X_n\leq 10, $$

но

$$ X_{n+1} = 100 ,\text{ если } X_n=0, $$

и

$$ X_{n+1} = X_n+1, \text{ если } X_n\geq 100, $$

[Хорхе]

Ну да. И такое же можно в непрерывном времени изобразить.

[Gortaur]

Хм, ну это скажем, несколько искуственный пример - здесь мы ограничиваем динамику процесса. А например если процесс - броуновское движение $x+w_t$. Можно ли построить такую функцию $f(x)$, что процесс $f(x+w_t)$ будет $P_x$-супермартингалом на $t\in[0,1]$ - но не будет супермартингалом на всей прямой?

[Хорхе]

Ну для броуновского движения не выйдет. И вообще если носитель распределения $X_t$ не зависит от $t$ (то есть если мы не "ограничиваем динамику"), то супермартингальность будет всюду.

[Gortaur]

То есть Вы можете это доказать? Тогда получается, что решение задачи оптимальной остановки (точнее, ценовая функция) не будет зависеть от того, конечный ли временной промежуток или нет? Т.к. она является минимальным доминирующим супермартингалом.

[Хорхе]

Ну как Вам сказать. Да, ценовая функция (лцчше -- ценовой процесс) будет супермартингалом. Но: почему вдруг это марковский процесс? Ну ладно, такое нередко бывает. Но: почему он вдруг однородный? Скажем, если выплата по опциону "марковская", то, мне кажется, что в нетривиальных случаях (непустое множество остановки) такого не бывает вообще.

[Gortaur]

То есть для броуновского движения не будет непустых множеств остановки?

[svv]

Хорхе писал(а):

Скажем, если выплата по опциону "марковская"

Ах, так вот это о чем...

[Gortaur]

Да нет, опционы тут вообще не при чем. Просто на них эта теория развилась хорошо, видимо поэтому Хорхе легче оттуда примеры приводить.