Нагрев кристалла лазерным импульсом

[Kir]

Добрый день. Помогите разобраться со следующим вопросом. Анизотропный кристалл нагревают сфокусированным лазерным импульсом, длительность которого примерно в 10 раз больше времени убегания звука из кристалла. Плотность мощности импульса и поглощение кристалла такие, что разрушения кристалла не происходит. Какие здесь особенности решения задачи? Я так понимаю, что нужно решать нестационарное уравнение теплопроводности с учётом того, что коэффициент теплопроводности - тензор, а не скаляр, использовать уравнение равновесия деформированного тела:
$\frac{\partial \sigma_i_j}{\partial x_j}=0$ (*) ($\sigma_i_j$ - тензор напряжений)

с учётом связи тензора напряжения с тензором деформации. Все эти уравнения известны, остаётся их численно решить.
Но я никак не могу разобраться с важными вопросами. Когда в кристалле устанавливаются деформации, когда звук уже пробежал? Допустим, наоборот, импульс был короче, звук не успевал убежать, то в этом случае напряжение в кристалле возникали, а деформации нет? И в какой момент справедливо уравнение (*)? После убегания звуковой волны? Но тогда меня смущает то, что уравнение теплопроводности описывает процесс распространения тепла с момента попадания импульса в кристалл, а уравнение (*) вроде бы только конечное состояние. Вообщем, получается довольно сложный процесс (возникновение напряжений, нагрев, распространение звуковой волны, установление деформаций), в котором для меня много непонятных моментом.

[Munin]

Это учебная задача? Если да, то по какому курсу?

[Kir]

Задача не учебная в том смысле, что взята не из учебника, она относится к моей курсовой.

[Alex-Yu]

Kir в сообщении #411482 писал(а):

Я так понимаю, что нужно решать нестационарное уравнение теплопроводности с учётом того, что коэффициент теплопроводности - тензор, а не скаляр, использовать уравнение равновесия деформированного тела:
(*) ( - тензор напряжений)

В динамическом случае, вообще говоря, в правой части должен быть не ноль, а $\rho\ddot{u}_j$.

Также не совсем тривиален вопрос а можно ли вообще тут использовать уравнение теплопроводности (его надо, кстати, модифицировать коль учитываете деформакции). Тепло не может распространятся быстрее звука, для такой ситуации ур-е теплопроводности вообще не справедливо! Оно справедливо только если скорость распространения тепла много меньше скорости звука. Импульс у вас довольно длинный, но не очевидно, что он достаточно длинный.

Весьма нетривальный вопрос как тут решать... По уму здесь бы решать кинетические уравнения для оптических фононов и динамические для акустических. Но для этого надо уж слишком много знать о кристалле и механизме его взаимодействия со светом. И вообще это весьма сложно. Я бы не взялся пробить нормально такую проблему за несколько месяцев. Хотя далеко не студент

-- Чт фев 10, 2011 23:35:29 --

Kir в сообщении #411482 писал(а):

Вообщем, получается довольно сложный процесс (возникновение напряжений, нагрев, распространение звуковой волны, установление деформаций), в котором для меня много непонятных моментом.

Угу... Еще вы забыли, что не факт что будет локальное тепловое равновесие между подсистемами кристалла: оптическими и акустическими фононными модами. Электронные степени свободы, пожалуй, тут релаксируют достаточно быстро. А вобще тут нужны цифры: какая длительность импульса, в какой объем фокусируется и т.д.

[Munin]

Kir в сообщении #411517 писал(а):

Задача не учебная в том смысле, что взята не из учебника, она относится к моей курсовой.

Она учебная в том смысле, что её кто-то выдумал для вашего обучения. Другое дело, если бы она возникла на практике. Собственно, я хотел выяснить, на каком уровне надо проводить рассмотрение, чем можно пренебрегать, а чем нельзя. В случаях учебных и практических задач это надо выяснять по-разному (и у разных людей).

Что такое время убегания звука из кристалла?

Мне тоже полезли в голову мысли уровня фононов-экситонов, как у Alex-Yu, но у меня смутное ощущение, что задача у вас из другого курса, решается значительно проще, и главные акценты в ней совсем на другом.

[Kir]

Munin в сообщении #411588 писал(а):

Kir в сообщении #411517 писал(а):

Задача не учебная в том смысле, что взята не из учебника, она относится к моей курсовой.

Она учебная в том смысле, что её кто-то выдумал для вашего обучения. Другое дело, если бы она возникла на практике.

Задача возникла на практике. В эксперименте кристалл нагревается сфокусированным лазерным пучком, длительность импульса около 80 мкс. Да, я ошибся, звук убегает из кристалла примерно в 100 раз быстрее длительности импульса, а не в 10. Время убегания оценивается как отношение размера кристалла к скорости звука в нём (около 5000 м/c). Нужно найти распределение температуры в кристалле и тензор деформаций.

[Munin]

Ситуация немного проясняется. Никаких фотон-фононов тут не нужно, а тензор деформаций будет обязан своим существованием неравномерному нагреву.
Остаются непонятными (и существенными) такие детали:
- отношение светового пятна к размерам кристалла. Если пятно неоднородно, то размеры неоднородностей.
- степень прозрачности кристалла, его оптическая толщина на длине волны лазера;
- окружение кристалла, его механические и тепловые свойства: как он закреплён, с чем в контакте, как охлаждается.

Видимо, надо решать уравнение теплопроводности, модифицированное для конечной скорости звука (возможно, в конечном счёте кинетическое уравнение для акустических фононов - от оптических частот можно абстрагироваться).

[Kir]

Munin в сообщении #411811 писал(а):

Остаются непонятными (и существенными) такие детали:
- отношение светового пятна к размерам кристалла. Если пятно неоднородно, то размеры неоднородностей.
- степень прозрачности кристалла, его оптическая толщина на длине волны лазера;
- окружение кристалла, его механические и тепловые свойства: как он закреплён, с чем в контакте, как охлаждается.

- используется модель гауссова пучка, геометрия фокусировки предполагается такой, что радиус в центре перетяжки около 18 мкм (по уровню 1/e поля), фокусировка происходит в центр кристалла. Длина волны излучения 1.07 мкм. Длина кристалла 10 мм, поперечный размер 4 на 4 мм;
- у кристалла есть поглощение на уровне $10^{-4} cm^{-1}$, показатель преломления на длине волны лазера n=1.6;
- тут есть разные варианты. В одном кристалл нижней поверхностью лежит на скотче на металлическом столике, специального охлаждения нет, теплоотвод в окружающее пространство. В другом кристалл помещён в термостат, где поддерживается определённая температура, как он закреплён, я ещё уточню, но знаю, что тоже одной стороной приклеен (возможно герметиком).
Как при этом записать модифицированное уравнение теплопроводности?
В решении для нахождения тензора деформаций я предполагал использовать связь тензора напряжения $\sigma_{ij}$ c тензором линейного теплового расширения $\alpha_{ij}$, тензором упругости $C_{ijkl}$ и тензором деформации $u_{ij}$:
$\sigma_{ij} = C_{ijkl}(u_{ij}-\alpha_{ij}T)$
Тензор деформации выражается через тензор смещения U:
$u_{ij}=0.5(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial U_j}{\partial x_i})$.
Дальше запись нулевых граничных условий: $\sigma_{ij}s_j =0 $ (s - нормаль к поверхности). Это уравнение справедливо для всех граней, кроме закреплённой?
Далее нужно записать уравнение равновесия деформированного тела:
$\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}= 0$ (вот тут я не уверен, там, как правильно написал Alex-Yu, в общем случае должна стоять плотность силы).
Эту систему с учётом граничных условий можно решить, отсюда найти поле смещений и тензор деформаций. Правильны ли мои рассуждения?