Обязательно ли числа делятся?

[Xenia1996]

Эту задачу я придумала сама только что.

Дано 2011 попарно различных натуральных чисел. Среди них найдется число, которое делится на 2011, найдутся два числа, сумма которых делится на $2011^2$, найдутся три, сумма которых делится на $2011^3$, ... найдутся 2010, сумма которых делится на $2011^{2010}$ и сумма всех этих 2011 чисел делится на $2011^{2011}$

Обязательно ли каждое из этих чисел делится на 2011?

[MrDindows]

Нет=) Более того, можно чтоб только одно делилось на $2011$.

(Оффтоп)

$1, 2011^{2011}-1, \ \ 2, 2011^{2011}-2, \ \ 3, 2011^{2011}-3, ... , \ 1005, 2011^{2011}-1005, \ \ 2011^{2011}$