Вопросы по Теореме(Линделёфа)

[maxmatem]

Вот возникли некоторые вопросы при док-ве

Теорема(Линделёфа)

Если топологическое пространство удоволитворяет второй аксиоме счётности, то из всякого открытого покрытия этого пространства можно выделить счётное подпокрытие.

Доказательство.
Пусть $X$-топ.пр-во, $B$-это счётная база, а $S$-открытое покрытие пространства $X$. Так как всякий элемент покрытия $S$ представляется в виде объединения элементов из базы $B$, то из этой базы выделим подсемейство $C$ , состоящее из тех элементов базы $B$, которые принадлежат хотя бы одному из элементов покрытия $S$. Видно, что подсемейство $C$-покрытие пр-ва $X$. Теперь сопоставим каждому элементу семейства $C$, какой-нибудь элемент из $S$ в который он входит, тогда $C$-счётное подпокрытие.

У меня вопрос , а почему когда было построено мн-во $C$, нельзя было заключить, что оно является подмножеством счётного множества , а значит счётно?

[svv]

Потому что доказать требовалось не то, что существует счетное покрытие вообще, а то, что можно выделить из уже имеющегося покрытия счетное подпокрытие.

[Виктор Викторов]

Множество $C$ счетно, но доказать надо, что существует счётное подпокрытие покрытия $S$.

[maxmatem]

Виктор Викторов
Мы же $C$ строили так чтобы оно было подпокрытием $S$. Как я понял последний шаг в док-ве как раз и устанавливает счётность $C$?

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #410669 писал(а):

Мы же $C$ строили так чтобы оно было подпокрытием $S$.

Где и когда?

maxmatem в сообщении #410659 писал(а):

Так как всякий элемент покрытия $S$ представляется в виде объединения элементов из базы $B$, то из этой базы выделим подсемейство $C$ , состоящее из тех элементов базы $B$, которые принадлежат хотя бы одному из элементов покрытия $S$.

Вы выделили подсемейство $C$ из базы. Оно не является открытым покрытием.

[maxmatem]

Цитата:

Оно является открытым покрытием, но не является (в общем случае) подпокрытием $S$.

А как же добиться того чтобы оно стало подпокрытием $S$ ?

[Виктор Викторов]

Там всё просто. Берём каждый элемент покрытия $S$. Он есть счетное объединение открытых множеств (база счётная). Объединение всех элементов базы, по всем элементам покрытия $S$ есть счетное покрытие. Ну и возьмите для каждого элемента этого счетного покрытия элемент покрытия $S$.

[maxmatem]

Вот посмотрел в книжку "Элементарная топология ", авторы О.Виро,...и т.д
Там такое док-во теоремы.

Набор подмножеств данной счётной базы,состоящий из всех тех её элементов, которые содержатся хотя бы в одном элементе данного покрытия, образует покрытие пространства.Сопоставив каждому элементу полученного набора один из содержащих его элементов исходного покрытия , мы получили искомое счётное покрытие.

Разве в том док-ве которое я привёл выше $C$-не такое же как в этом док-ве ?

-- Вт фев 08, 2011 22:14:16 --

Цитата:

Ну и возьмите для каждого элемента этого счетного покрытия элемент покрытия $S$.

вот это я не понял.

[Someone]

maxmatem в сообщении #410659 писал(а):

Теорема(Линделёфа)

Если топологическое пространство удоволитворяет второй аксиоме счётности, то из всякого открытого покрытия этого пространства можно выделить счётное подпокрытие.

Доказательство.
Пусть $X$-топ.пр-во, $B$-это счётная база, а $S$-открытое покрытие пространства $X$. Так как всякий элемент покрытия $S$ представляется в виде объединения элементов из базы $B$, то из этой базы выделим подсемейство $C$ , состоящее из тех элементов базы $B$, которые принадлежат хотя бы одному из элементов покрытия $S$. Видно, что подсемейство $C$-покрытие пр-ва $X$. Теперь сопоставим каждому элементу семейства $C$, какой-нибудь элемент из $S$ в который он входит, тогда $C$-счётное подпокрытие.

Здесь в последней фразе что-то не то написано. Семейство $C$, конечно, есть счётное открытое покрытие, но оно не является подпокрытием покрытия $S$. По определению подпокрытия, оно должно состоять из элементов покрытия $S$. Подпокрытием является никак не обозначенное здесь семейство, которое получается, если для каждого элемента покрытия $C$ взять один содержащий его элемент семейства $S$.

[Виктор Викторов]

Ещё раз. Есть покрытие $S$. Пусть для нашего разговора оно бесконечное. Если в каждом открытом множестве этого покрытия я зафиксирую элемент базы, то множество этих элементов базы может быть, а может и не быть покрытием. Но нам нужно покрытие! Поэтому берем и фиксируем для каждого множества -- элемента покрытия $S$ совокупность элементов базы объединение которых есть этот элемент покрытия $S$. Итак, для каждого элемента покрытия $S$ имеем набор элементов базы из которого и состоит этот элемент покрытия. Совокупность всех элементов базы по всем элементам покрытия является открытым покрытием. Теперь внимание! У нас появилось покрытие, состоящее только из элементов базы. А база счётная. Тогда и наше покрытие из элементов базы счётное! А теперь каждому элементу этого счетного покрытия сопоставим элемент покрытия $S$ (ведь каждый элемент нашего «базового» покрытия по определению сидит в каком-то элементе $S$). Получили счетное подпокрытие $S$. Конечно, построенное отображение не обязано быть взаимно-однозначным. Всё. Проверить, что написано у Виро сейчас не могу. Проверю позже.

-- Вт фев 08, 2011 14:44:59 --

Someone в сообщении #410702 писал(а):

Семейство $C$, конечно, есть счётное открытое покрытие, ...

Почему? Ведь это просто набор элементов базы, но почему этот набор покрывает пространство?

[maxmatem]

Виктор Викторов
спасибо. Вот теперь я понял. Так что ещё раз огромное спасибо.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #410705 писал(а):

Почему? Ведь это просто набор элементов базы, но почему этот набор покрывает пространство?

Потому что множество элементов базы, содержащихся в данном открытом множестве, является покрытием этого множества.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #410727 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #410705 писал(а):

Почему? Ведь это просто набор элементов базы, но почему этот набор покрывает пространство?

Потому что множество элементов базы, содержащихся в данном открытом множестве, является покрытием этого множества.

Вы правы. У меня зародилось подозрение, что речь идет не обо всех элементах базы, сидящих в каждом элементе покрытия $S$. Но прочитал опять: «...из этой базы выделим подсемейство $C$, состоящее из тех элементов базы $B$, которые принадлежат хотя бы одному из элементов покрытия $S$» и понял, что был неправ.