Конечные приращения

[Gortaur]

Тут у меня коллега спросил - у него есть функция, дифференцируемая по Фреше в Банаховом пространстве на компакте. Он хочет приближать производную через конечные приращения (т.е. последовательности $h_i,i=1,2,...$) и чтобы ошибка

$$ \frac{||f(x+h) - f(x) - f'(x)h||}{||h||} $$

убывала монотонно по $h$.
Для случая $\mathbb{R}$ я знаю, что ему ответить - через формулу Лагранжа и через константу Липшица для производной можно получить оценку для такой ошибки которая будет монотонно сходиться к нулю при $h_i\to 0$.

Но для банаховых пространств вряд ли есть теорема Лагранжа... что посоветуете?

[MaximVD]

В нормированных пространствах есть аналог теоремы Лагранжа (можете посмотреть, например, в Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа"):
если функция имеет слабую производную (и уж тем более, если функция дифференцируема по Фреше), то

$$ \| f(x + h) - f(x) \| \le \sup_{ 0 \le \theta \le 1 } \| f'(x + \theta h) \| \cdot \| h \|. $$