Маленькое исследование по теории чисел

[Xenia1996]

Для каждого натурального n определить, сколько существует полных квадратов вида n^m+n^k, где m и k - натуральные числа, не равные друг другу.

Я рассмотрела лишь первые 8 случаев (некоторые из них можно частично обобщить):

n=1 - квадратов очевидно нет.

n=2 - бесконечно много квадратов. 6^2=36=2^5+2^2, 12^2=144=2^7+2^4, \dots (6\cdot 2^i)^2=2^{2i+3}+2^{2i}

n=3 - бесконечно много квадратов. 6^2=36=3^3+3^2, 18^2=324=3^5+3^4, \dots (6\cdot 3^i)^2=3^{2i+1}+3^{2i}

n=4 - квадратов нет. Степень четвёрки с натуральным показателем дарамдаш остаток 1 при делении на 3, а сумма двух таких степеней - остаток 2 (не даваемый ни одним из квадратов).

n=5 - квадратов нет. Степень пятерки с натуральным показателем оканчивается на 25 (кроме первой), а сумма двух таких степеней - либо на 50, либо на 30, а значит, делится на 2, но не на 4, то бишь, не квадрат.

n=6 - квадратов нет. Степень шестёрки с натуральным показателем оканчивается на 6, а сумма двух таких степеней - на 2, но квадраты на двойку не кончаются.

n=7 - квадратов нет по той же причине, что и при n=4

n=8 - бесконечно много квадратов: вернёмся к пункту 2, там каждая третья пара подходит и для n=8

Пункты 4 и 7 можно обобщить на все натуральные числа, сравнимые с единичкой по модулю 3.
Пункт 6 можно обобщить на все натуральные числа, десятичная запись коих оканчивается на 6.

А дальше Ксюша устала и просит помощи клуба

[Руст]

Пусть $m>k$, тогда число представляется в виде произведения двух взаимно простых чисел
$N=n^k(n^{m-k}+1)$, соответственно каждый множитель должен быть квадратом.
Если $n$ является квадратом, то второй множитель квадрат плюс один не является квадратом.
Поэтому n не должен быть квадратом и k четным. Для таких чисел единственным условием является
$n^a+1=b^2\to n^a=(b+1)(b-1), a=m-k.$
Аналогично $a$ нечетное. При $a=1$ решения получаются $n=b^2-1$.
Пусть $a=ld,l>1$. Тогда $n^{ld}+1=(n^d+1)N_1, N_1=n^{(l-1)d}-n^{(l-2)d}+...+(-1)^{l-1}$ и
$(n^d+1,N_1)=(n^d+1,l)$.
Вообщем повозившись можно показать, что единственное решение для этого случая $n=2,a=3,b=3$.

[PAV]

Xenia1996
Вы неправильно набираете формулы, причем систематически. Из-за этого неправильные шрифты. Каждую формулу нужно окружить знаками долларов, а тег math можно самому и не добавлять, он будет добавлен автоматически. Подробнее об этом можно прочитать во втором сообщении темы Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться, раздел "Чем окружать формулы". Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение. Тема перемещена из "Дискуссионных тем" (М) в карантин.