равносторонний треугольник ...

[Antonina]

1.Длины сторон треугольника – простые числа. Может ли его площадь быть целым числом?
2.Найдите все такие пары натуральных чисел (x, y), что оба числа x³ + y и y³ + x делятся на x² + y².
3.Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Заранее Спасибо за помощь в решении!

[незваный гость]

1) Нет. Возьмите формулу для площади треугольника через стороны и проверьте четность числителя подкоренного выражения.

2) $x = y = 1$ — единственное решение в натуральных числах. Одно из доказательств состоит из двух шагов: (1) доказать, что $x$ и $y$ взаимно просты, и (2) что для взаимно простых $x$ и $y$ единственно возможный случай делимости $x = y = 1$.

3) У треугольника три вершины, которые надо покрыть. Это наводит на определнные размышления.

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
1) Нет. Возьмите формулу для площади треугольника через стороны и проверьте четность числителя подкоренного выражения.

Разве 2 не простое число?

[незваный гость]

Простое. Ну и что? Я не хочу писать все решение. Это не раздел олимпиадных задач.

[Руст]

2 не нарушает чётности. Только и решения не дает.

[незваный гость]

Руст писал(а):

2 не нарушает чётности. Только и решения не дает.

незваный гость писал(а):

Я не хочу писать все решение. Это не раздел олимпиадных задач.

[Antonina]

Цитата:

1.Длины сторон треугольника – простые числа. Может ли его площадь быть целым числом?

Цитата:

1) Нет. Возьмите формулу для площади треугольника через стороны и проверьте четность числителя подкоренного выражения.

Цитата:

Разве 2 не простое число?

Цитата:

Простое. Ну и что? Я не хочу писать все решение.

Цитата:

2 не нарушает чётности. Только и решения не дает.

Нет, ну, все-таки как? Я знаю, отает: можно. Но не знаю,как доказать.

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

Цитата:

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Вот это тоже, не знаю просто,как доказать. Хотя ясно,что так и есть.

[vbn]

Antonina писал(а):

3. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Переформулируем:
Докажите, что из двух равносторонних треугольников нельзя "составить" третий, равносторонний же.
Возможно 2 случая для треугольников, из которых "составляется" третий:
1) стороны треугольников не равны.
Тогда треугольники никак не "приложишь" друг к другу,
чтобы образовался третий треугольник (и даже 4-угольник);
2) стороны треугольников равны.
В этом случае "прикладываением" можно получить либо ромб,
либо параллелограмм (из 4-угольников), треугольник же "составить" никак нельзя.

[RIP]

незваный гость писал(а):

3) У треугольника три вершины, которые надо покрыть. Это наводит на определнные размышления.

Поясняю: если покрыть 2 треугольниками, то хотя бы 2 вершины большого треугольника покроются одним маленьким, но это, как легко показать, невозможно.