Бесконечно ли количество простых чисел-близнецов?

[Skipper]

Бесконечно ли количество простых чисел-близнецов? (которые стоят почти рядом - через 1, например 41 и 43)
Если до сих пор неизвестен ответ на этот вопрос, то хочу решить другую задачу чисто из теории вероятностей. Пока не знаю, как ее решить.

Будем бесконечное количество раз тянуть шары из ящика, в котором ВСЕГДА 1 белый шар, и какое то количество черных шаров. Т.е. если мы вытащили белый шар, то пишем 0, и потом шар ВОЗВРАЩАЕМ в ящик. Если мы вытащили черный шар, пишем 1, и тоже возвращаем в ящик. Перед нашей N-й попыткой вытащить шар - в ящике ВСЕГДА $(ln N)$ ЧЕРНЫХ шаров, и всегда 1 белый шар. Т.е. мы тащим-записываем, тащим-записываем, и кто-то постоянно подбрасывает черные шары в ящик, чтобы там всегда количество их - оказалось $(ln N)$.

После N попыток у нас будет записано что-то вроде 00...10110111010111.
Вопрос - бесконечное ли количество раз мы вытащим ДВА ПОДРЯД белых шара?

Понятное дело, что если будет бесконечное количество двух подряд белых шаров, то будет и бесконечное количество вытаскиваний белых шаров через одну попытку.

Также, вроде бы, вероятность выпадения простого числа в окрестности N равна $1/(ln N)$, поэтому задача эквивалентна задаче о бесконечности простых чисел-близнецов.

Понятное дело, что если бы черные шары в ящик не подбрасывали, да хоть их там было бы квинтиллион, все равно бы за бесконечное время вытащили бесконечное количество раз - два белых подряд.

Если простые числа идут без всякой закономерности, т.е. подчиняются законам вероятностей, тогда решив эту задачу с шарами - можно будет доказать, что и количество простых-близнецов - конечно либо бесконечно. Но если же, решив задачку с шарами окажется что вытащим два белых подряд - конечное количество раз, а потом докажут что все таки простых-близнецов бесконечное количество - мы докажем, что простые числа не подчиняются законам вероятностей. Есть какие то исключения, позволяющие близнецам появляться бесконечное количество раз.

-- Пн фев 07, 2011 23:32:20 --

Если подобные темы уже есть (про числа-близнецы), то прошу меня не пинать. Я, хотя и назвал так данную тему, не столько хочу вдаваться в теорию самих этих близнецов, сколько хочу решить именно описанную ЧИСТО ВЕРОЯТНОСТНУЮ задачу.

Думаю, конечно ли количество вытаскиваний белых шаров подряд - зависит от закона убывания вероятностей вытащить белый шар. Если бы эта вероятность была не $1/(ln N)$, а скажем, $(1/ N^5)$, то точно нифига бы мы не вытащили бесконечное количество раз белые подряд.

Мне интересно, чисто по теории вероятностей, при каких вероятностях (функция, зависящая от N) у нас получится 1) вытащить бесконечное количество двух подряд белых шаров, 2) трех подряд белых шаров, 3) вообще - общее количество белых шаров.

Как мне кажется, описанная мной задача сводится к другой эквивалентной задаче. Если количество черных шаров перед N-й попыткой - в ящике - равно $(ln N)^2$, то будет ли у нас общее количество вытянутых белых шаров - бесконечным. Так?

[Skipper]

Итак, я свел ее к более простой задаче. Уже не надо считать случаи с вытаскиванием двух подряд белых, если заметить что вероятность этого равна $1/(ln N)^2$. Поэтому если в ящике будет количество черных шаров, равное $(ln N)^2$, то одно такое вытаскивание белого шара эквивалентно вытаскиванию двух подряд, при количестве черных в ящике $(ln N)$. Значит, осталось посчитать, общее количество белых шаров (не обязательно подряд), при бесконечном количестве попыток, и при изменяющемся количестве черных в ящике - теперь оно равно $(ln N)^2$, где $N$ - номер попытки.

Если мы после бесконечного количества попыток вытаскиваний - вытащим в сумме КОНЕЧНОЕ количество белых шаров, (и простые числа распределяются согласно законам вероятностей - последовательность статистически не отличается от случая с вытаскиванием шаров - а большинство математиков уверено что это так), тогда и количество простых чисел-близнецов КОНЕЧНО.

Обозначим $f(N)$ = $1/(ln N)^2$ - функция которая дает нам вероятность вытаскивания белого шара при N-й попытке.
Тогда $(1-f(N))$ - это вероятность неудачи, т.е. вероятность вытаскивания черного шара. Какова вероятность того что мы ни разу не вытащим белый шар за все попытки начиная от 1000-й до 2000-й? Эта вероятность равна
$(1-f(1000)) * (1-f(1001)) * (1-f(1002)) ... * (1-f(2000))$.
Если у нас в конечном итоге должно получиться конечное количество белых шаров, то начиная от какой то попытки M, мы вообще ни разу не вытащим белый шар, а это возможно если
$(1-f(M)) * (1-f(M+1)) * (1-f(M+2))$ ... * $(1-f(M+x ))$ ...
не стремится к 0, при бесконечном количестве этих множителей в произведении. Если же это произведение будет стремится к 0, то всегда должны попадаться белые шары, т.к. это произведение - вероятность того что мы никогда больше не вытащим белый. Также, если это произведение стремится к 0, то будет стремится к 0 и полное произведение начиная от 1-й попытки, т.е. предел бесконечного произведения
$(1-f(1)) * (1-f(2)) * (1-f(3))$ ... * $(1-f(x ))$ ... = $0$.
тогда будет бесконечное количество белых шаров, и простых чисел-близнецов. Вот нужно и посчитать это бесконечное произведение при
$f(N)$ = $1/(ln N)^2$. Также, т.к. число простых чисел (всех, не только близнецов) бесконечно, а для них $f(N)$ = $1/(ln N)$, то при такой функции $f$, это произведение, очевидно, стремится к 0.

Чему равен предел этого бесконечного произведения при $f(N)$ = $1/(ln N)^2$ ?

Возможны три варианта.

1. Бесконечное произведение
$(1-f(M)) * (1-f(M+1)) * (1-f(M+2))$ ... * $(1-f(M+x ))$ ...
стремится к 0, при $M = 1$. (да и при любом, больше 1). Тогда мы можем утверждать, что количество простых чисел-близнецов будет БЕСКОНЕЧНО.

2. Это же произведение может быть сколь угодно близко к 1, если мы возьмем достаточно большое $M$. Т.е. для любого сколь угодно малого $Epsilon>0$, существует такое $M$, при котором это произведение больше чем $(1 - Epsilon)$. Тогда количество простых чисел-близнецов будет КОНЕЧНО.

3. Не выполняются оба первых условия - тогда количество простых чисел-близнецов - может быть и конечно. и бесконечно.

[r-aax]

Вытаскивание шара на $N$-ой попытке и на $(N + 1)$-ой - события независимые.
Но мне кажется, то, что число $N$ простое и что число $N + 1$ простое это события не независимые...

[Skipper]

Цитата:

Вытаскивание шара на $N$-ой попытке и на $(N + 1)$-ой - события независимые.
Но мне кажется, то, что число $N$ простое и что число $N + 1$ простое это события не независимые...

Почему вы так думаете? Этого вроде бы никто не доказал.
Будем пока думать, что выборка простых чисел - статистически не отличается от наших шаров.
Хочу сначала решить эту вероятностную задачу. А потом можно обсудить все свидетельства в пользу того, как распределяются простые числа.

[Someone]

Skipper в сообщении #410540 писал(а):

Почему вы так думаете? Этого вроде бы никто не доказал.

Ну что тут доказывать? Если $N$ - нечётное простое, то $N+1$ - гарантированно составное. Какая уж тут "независимость".

[Skipper]

Цитата:

Ну что тут доказывать? Если $N$ - нечётное простое, то $N+1$ - гарантированно составное. Какая уж тут "независимость".

Причем тут это? Если простые числа статистически на большом промежутке подчиняются обычным законам вероятностей, и это будет доказано, то решение моей задачи станет необходимым и достаточным условием для решения задачи о бесконечном количестве близнецов. Давайте сначала решим вопрос именно с этой вероятностной задачей... Кто может посчитать этот предел, про который я написал?

[Xaositect]

Skipper в сообщении #410621 писал(а):

Причем тут это? Если простые числа статистически на большом промежутке подчиняются обычным законам вероятностей, и это будет доказано, то решение моей задачи станет необходимым и достаточным условием для решения задачи о бесконечном количестве близнецов. Давайте сначала решим вопрос именно с этой вероятностной задачей... Кто может посчитать этот предел, про который я написал?

Вспомните определение независимых событий. Перемножать вероятности по обычным законам теории вероятностей просто так можно только у независимых событий, а именно это Вы сделали, переходя от $\frac{1}{\ln N}$ к $\frac{1}{\ln^2 N}$.

[Skipper]

Ну хорошо. Решим сначала только такую задачу. Тянем шары из ящика (и возвращаем обратно в ящик). В ящике всегда 1 белый шар, и $(lnN)^2$ черных шаров, где N - номер нашей попытки вытаскивания шара. (т.е. черные шары кто-то постоянно подбрасывает в ящик).

Вопрос - бесконечное ли количество раз мы вытащим белый шар? Может кто нибудь решить такую вероятностную задачу? Если кто-то решит, то потом можно будет проводить какие то аналогии с простыми числами.

[shwedka]

Skipper в сообщении #410621 писал(а):

Если простые числа статистически на большом промежутке подчиняются обычным законам вероятностей, и это будет доказано, то

Представляется, что такая задача сииииииильно труднее проблемы близнецов.

[hurtsy]

Skipper в сообщении #410358 писал(а):

Понятное дело, что если будет бесконечное количество двух подряд белых шаров, то будет и бесконечное количество вытаскиваний белых шаров через одну попытку.

Если шары вынимать парами, то с вероятностью $\frac 1 2$ получите разноцветную пару, а с вероятностями $\frac 1 4$ одноцветные. Но как Вы их пронумеруете чтобы связать с близнецами. Вероятность получить при $n$ попытках один цвет $-$ $\left ( \frac 1 4 \right)^n $ и есть настоящая случайная величина, независимо от интервала расмотрения $N$. Средняя величина разности между последовательными простыми $-$ величина псевдослучайная, "понятное дело" имеющая ассимптотику $\ln N $. С уважением,

[Skipper]

Цитата:

Представляется, что такая задача сииииииильно труднее проблемы близнецов.

Да вроде бы, эта задача будет решена после доказательства Гипотезы Римана. Только вот не помню итог, если ГР верна, то распределение простых чисел будет статистически на большом промежутке подчиняться обычным законам вероятностей, или не будет.

[mcnuggets]

Skipper в сообщении #411129 писал(а):

В ящике всегда 1 белый шар, и $(lnN)^2$ черных шаров...
Вопрос - бесконечное ли количество раз мы вытащим белый шар?.

В принципе, этот вопрос сводится к задаче, сходится или нет ряд (который, по моим интуитивным соображениям, не сходится):

$$\sum_{i=2}^{\infty}{\frac{1}{ln^2(i)}}}={\infty}$$

То есть, вытащим белый шар бесконечное число раз.

[mcnuggets]

Примечание к предыдущему посту:
$\sum_{i=2}^{\infty}{\frac{1}{ln^2(i)}}}$ - растет так же, как количество белых шаров.
Равно "бесконечности" потому, что $\exists k : \sum_{n=k}^{\infty}{\frac{1}{ln^2(n)}}} > \sum_{n=k}^{\infty}{\frac{1}{n}}} = {\infty}$

[Skipper]

Более того, даже если бы в ящике было $N$ черных шаров при $N$-й попытке вытаскивания, все равно мы бы вытащили бесконечное количество белых шаров. Т.к. сумма гармонического ряда равна бесконечности. А $N$ больше чем $ln N$, т.е. вероятности вытаскивания белых шаров убывают быстрее.

Можно еще больше черных шаров сделать, и мы все равно вытащим бесконечное количество белых. Например, если в ящике при $N$-й попытке вытаскивания - количество черных равно $N$-му простому числу.

Если в ящике $N ln N$ черных шаров, то уже не уверен, но тоже интуиция подсказывает, что мы вытащим бесконечное количество белых шаров.

Если в ящике $N (ln N)^a$ черных шаров, то тоже кажется, при любой степени $a$ мы вытащим бесконечное количество белых шаров.

А вот если в ящике $N^a$ черных шаров, то при любой степени $a>1$, мы вытащим конечное количество белых шаров. Хотя у нас будет бесконечное количество попыток. Т.е. хотя и после любой попытки есть ненулевая вероятность вытащить белый шар, рано или поздно наступит момент после которой мы никогда не вытащим белый шар.