Как определить характер экстремума функционала (min/max)?

[Zeex]

По заданию нужно найти экстремали функционала
$J[y] = \int_{0}^{1}{(x^{3}+\frac{1}{2}y^{2}+2y'^{2})dx}$,
причем y(0) = 0, y(1) = 2, и исследовать характер экстремума.

С первой частью вроде все ок, решил уравнение Эйлера и получил $y(x)=\frac{2}{e^{1/2}-e^{-1/2}}\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$. Как действовать дальше?

[Gortaur]

Можно это сделать либо вариацией второго порядка (см. например Эльсгольц, достаточные условия минимума) - либо напрямую, оценить выражение

$$ J[y+h]-J[y], $$

где $h$ достаточно мала.