integer roots

[man111]

The equation$ax^2+(a+3)x+a-3=0$ and $a\neq 0$ has two positive integer roots.
To find the roots and the actual number

[myra_panama]

man111 в сообщении #409074 писал(а):

To find the roots and the actual number

По моему задача не понятно , может найти 'a'

[ShMaxG]

Я так понял, что надо найти эти корни и соотв. число $a$.
1. Раз $\[a \ne 0\]$, значит уравнение -- квадратное, поэтому вычислим его дискриминант.$\[D = - 3{a^2} + 18a + 9\]$.

2. По теореме Виета: $\[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - \frac{{a + 3}} {a} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{{a - 3}} {a} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$
Это значит, что число $\[\frac{3} {a}\]$ должно быть целым. Значит, $\[a = \frac{3} {n}\]$ для целых $n$.

3. Рассмотрим $ \[a = \frac{3} {n}\]$. $\[\frac{D} {{{4a^2}}}\]$ должно быть квадратом целого числа. Т.е. должно существовать целое $k$, что $\[\frac{1} {4}{n^2} + \frac{3} {2}n - \frac{3} {4} = {k^2}\]$. Это возможно при $\[n = 1;k = 1\]$ (но тогда один из корней равен нулю). Другие положительные $n$ не подходят, т.к. тогда один из корней получится отрицательным. Легко показать, что среди отрицательных $n$ подходит только $n=-7$ (дает корни $2$ и $4$). Что и будет ответом.

Ответ: $a=-3/7$, $x_1=2, \, x_2=4$.