Inequality in Complex no.

[man111]

If $Z$ is a Complex no. such that $|Z|=1$.Then Prove that $\sqrt{2}\leq |1-Z|+|1+Z^2|\leq 4$

[ShMaxG]

man111
Обычная задачка. Решается школьными методами. Попробуйте, приведите попытки.

[ewert]

Совсем уж по школьному -- можно, конечно, но не вполне эстетично.

Очевидно, что значение $\sqrt2$ достигается при $z=i$, а значение $4$ -- при $z=-1$. Оценка сверху тоже очевидна, остаётся только оценка снизу. Так вот: если $z=e^{it}$, то при $t\in[\frac{\pi}{2};\pi]$ оказывается не меньше $\sqrt2$ уже первое слагаемое (т.к. это -- длина хорды единичной окружности для соотв. центрального угла). При $t\in[0;\frac{\pi}{2}]$ аналогичное неравенство было бы верно по той же причине для $|1+z|$, и это выражение легко вытянуть по неравенству треугольника:

$|1-z|+|1+z^2|\geqslant|(z-1)+(1+z^2)|=|z+z^2|=|z|\cdot|1+z|=|1+z|\,.$