Подмножество линейного нормированного пространства

[Mikhail Sokolov]

У меня вопрос, возможно, не совсем внятный.
Имеем вещественное линейное нормированное пространство $E$, пространство линейных ограниченных функционалов $E^*$ на нем и множество $X \subset E$. Введем отображение $G$, сопоставляющее функционалу $f \in E^*$ функцию $g:X \to R$, определенную равенством $g(x)=f(x)$, $x\in X$.
Меня интересуют сколь возможно "минимальные" условия на множество $X$, гарантирующие, что отображение $G$ инъективно. Т.е. гарантирующие, что по функции $g$ можно однозначно восстановить функционал $f$.
Понятно, например, что если $X$ образует базис, то все хорошо. Понятно, что если $X$ - такое множество, что пространство конечных линейных комбинаций его элементов всюду плотно в $E$, то тоже все хорошо. Может существуют какие-то менее жесткие условия?
Спасибо.

[Padawan]

Если линейная оболочка $X$ не плотна в $E$, то существует ненулевой функционал $f\in E^*$, равный нулю на $X$ (это следует из теоремы Хана-Банаха). Следовательно, в этом случае отображение не инъективно.

[Mikhail Sokolov]

Да, красиво. Спасибо.