Система уравнений

[Bulinator]

$\gamma^\mu$- 7 штук попарно антикоммутирующих, вещественных $8\times8$ матриц:
$\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=-2\delta^{\mu\nu}{{\bf 1}_{8\times 8}}$
Обозначим
$\gamma^{\mu\nu\lambda}=\frac{1}{3!}\gamma^{[\mu}\gamma^\nu\gamma^{\lambda]}$
([] означает антисимметризацию).
Тогда величины $B^{\mu\nu}_s$ определяются с помощью столбца из $8$-и элементов $v=(v_1,\ldots,v_8)$ следующим образом:
$\frac{d}{dt}\frac{(v\gamma^{\mu\nu\lambda}v)u_\lambda}{v^2}=\frac{1}{v^2}B^{\mu\nu}_s\dot{v}_s,\quad \mu,\nu,\lambda=1,\ldots,7,\quad s=1,\ldots,8$,
где $u_\lambda$-произвольные константы. Везде по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование. (Греческие индексы пробегают значения от 1 до 7, тогда как латинские от 1 до 8).

Итак, для величин $g_{\mu\nu}$ получаем следующую систему уравнений:

$g_{\mu b}B^{\nu\mu}_s+g_{\mu s}B^{\nu\mu}_b=0,$
которую прошу помочь разрешить.

Заметил, что если умножить это уравнение на $v_s$ и просуммировать по $s$ то первое слогаемое выпадает и остается:
$g_{\mu s}B^{\nu\mu}_bv_s=0$

Еще(уже с помощью компьютера) заметил, что если зафиксировать индекс $s$ в $B^{\mu\nu}_s$ и рассматривать эти величины как $7\times 7$ матрицу, то ее ранг равен 4. Этого я никак не могу доказать.

(Оффтоп)

Если нужно, матрицы $\gamma^\mu$ строются следующим образом:
$\gamma^\mu_{ab}=-\delta_{a8}\delta^\mu_b+\delta^\mu_a\delta_{b8}-C_{\mu ab}$,
где $C_{\mu \nu\lambda}$- октонионные структурные константы:
$C_{123}=C_{147}=C_{165}=C_{246}=C_{257}=C_{354}=C_{367}=1$
антисимметричны относительно перестановок любых двух индексов и равны нулю во всех остальных случаях.

Чую, что решение будет зависеть от трех произвольных функций.
Заранее спасибо за любые умные мысли.

[Bulinator]

Кстати, забыл сказать, что все матрицы $\gamma^\mu$ антисимметричны:
$(\gamma^\mu)^T=-\gamma^\mu$, while матрицы $\gamma^{\mu\nu\lambda}$- симметричны.

(Оффтоп)

Кстати, $C_{7}^3=35$ матриц $\gamma^{\mu\nu\lambda}$ вместе с единичной матрицой образуют базис в $\frac{8(8+1)}{2}=36$ -мерном пространстве симметричных $8\times 8$ матриц.
Остальные- антисимметриные матрицы заполняются 7-ю самими матрицами $\gamma^\mu$ и $\frac{7(7-1)}{2}=21$ матрицами $\gamma^{\mu\nu}$. В иттоге получаем $36+28=64=8^2$ матриц.