binomial Sum.

[man111]

Calculate $\sum_{r=0}^{n}^nC_{r}(r-nx)^2x^r(1-x)^{n-r}$

[EtCetera]

По-видимому, имеется в виду такая сумма:
$\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}(r-nx)^2x^r(1-x)^{n-r}$
Тогда имеем:

$$\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}(r-nx)^2x^r(1-x)^{n-r}=\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\left.\left(e^{(r-nx)y}\right)''\right|_{y=0}x^r(1-x)^{n-r}=\left.\left(\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}e^{(r(1-x)+(n-r)(-x))y}x^r(1-x)^{n-r}\right)''\right|_{y=0}=$$

$$=\left.\left(\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\left(xe^{(1-x)y}\right)^r\left((1-x)e^{-xy}\right)^{n-r}\right)''\right|_{y=0}=\left.\left(\left(xe^{(1-x)y}+(1-x)e^{-xy}\right)^{n}\right)''\right|_{y=0}=\dots$$

Окончательно получим что-то вроде $nx(1-x)$.

[man111]

Thanks EtCetera for Nice Solution.