Правый обратный оператор

[Nimza]

Правый обратный оператор $ A_{r}^{-1}$ для линейного ограниченного оператора $ A: X \to Y$ ($X,Y$ -- нормированные) вводится как линейный оператор $ A_{r}^{-1} : Y \to X$ такой, что $A \circ A_{r}^{-1} = E $.

Следует ли из того, что $im A = Y$ то, что существует $A_{r}^{-1}$? Можно, конечно, определить $\forall y \in Y\; A_{r}^{-1}y = x$, где $x$ любой из $x: Ax = y$, но так у $A_{r}^{-1}$ не будет линейности в общем случае.

Если cледует, то как определить такой оператор?

[Gortaur]

Есть подозрение, что если $\dim{X}>\dim{Y}$, то там никак единичную матрицу не получить.

[Nimza]

Спасибо, только разве не $\dim{X} < \dim{Y}$(т.к. получается матрица размера $\dim{Y}$ ранга не более $\dim {X}$).

Но в таком случае не может быть $im\;A = Y$ ($\dim{im \; A} \leq \dim {X} < \dim{Y}$)

Вы знаете ответ? В общем случае правый обратный при предположении $im \; A = Y$ не существует? (линейный)

[ewert]

А при чём тут Димы, когда речь о просто "нормированных"?...

Тогда, боюсь, без аксиомы выбора будет не обойтись (хотя могу и ошибиться). Ну а та аксиома -- ну кому она нужна. Практических-то последствий из её применения в данном конкретном случае -- выйдет ровно ноль, и с хорошей точностью.

[Gortaur]

ewert
При том, что я о контрпримере говорил.

[ewert]

Gortaur в сообщении #408720 писал(а):

При том, что я о контрпримере говорил.

Ну а я об общем случае. В конечномерном случае ответ на вопрос ТС, естественно, положительный. Он был бы отрицательным, если бы, наоборот, речь шла о левом обратном.