Вопрос по римановой геометрии

[Padawan]

Правда ли, что задание тензора кривизны локально определяет риманову геометрии с точностью до изометрического диффеоморфизма? (понятно, что тензор кривизны надо задавать не произвольна, а так, чтобы были выполнены некоторые условия интегриуемости - допустим, что они выполнены).

Если да, то можно ли это доказать в бескоординатной записи?

[paha]

это, вообще говоря, верно... Кажется, доказательство есть здесь: Kulkarni R.S. Curvature and metric//Ann. Math. 1970. Vol. 91, N 2. P. 311—331.

[Padawan]

Бескоординатное?

[paha]

Вот аутлайн. Бескоординатный практически:)

[Padawan]

Спасибо!

[svv]

Padawan, объясните, пожалуйста, подробнее, что значит "с точностью до изометрического диффеоморфизма". Все термины мне знакомы, мне непонятно только "с точностью до", а из-за этого и всё утверждение. Наверное, что-то вроде "если взять два экземпляра многообразия с заданным тензором кривизны и в каждом ввести согласованную с кривизной метрику, то существует диффеоморфизм...", но лучше Вы и подробнее.

[Padawan]

Я имел ввиду следующее. Возьмем на многообразии точку $M$ и в некоторой окрестности $U$ этой точки определим тензор кривизны. Предположим, что в $U$ можно определить два метрических тензора $g$ и $g'$, которые имеют заданную кривизну. Тогда существуют окрестности $V$ и $W$ точки $M$ и диффеоморфизм $\varphi\colon V\to W$, который переводи $g$ в $g'$, т.е. $\varphi^*(g)=g'$.

[svv]

Спасибо!