странный результат

[Gortaur]

Есть событие $A$ и сл. величина $\xi$. Есть событие

$$ B = \{|P(A) - \xi|\leq\varepsilon\}. $$

При этом мы точно знаем, что $P(B)>1-\delta$, где $\delta << 1$. Получается, что

$$ P(A|B) \in [\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] $$

откуда я могу оценить $P(A)$. Просто тогда получается, что у меня есть $P$-п.н. оценка вероятности (т.е. константы) через сл. величину, причем эта оценка еще и сходится к $P(A)$ при $\delta\to 0$. Ошибка в том, что нельзя использовать $P(A|B)$ - там какая-нибудь рекурсия?

[--mS--]

Gortaur в сообщении #407563 писал(а):

Получается, что

$$ P(A|B) \in [\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] $$

Откуда это получается?

[Gortaur]

из того, что $\forall \omega\in B: P(A)\in[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon]$.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #407592 писал(а):

из того, что $\forall \omega\in B: P(A)\in[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon]$.

Отсюда совершенно ничего не следует про $\mathsf P(A | B)$. Попробуйте получить неравенство, указанное выше, из определения условной вероятности.

Просто неоднозначность языка играет злые шутки. Условная вероятность - это вероятность, с которой (дальше слитная фраза) случается событие $A$, если известно, что случилось событие $B$. Сама вероятность события $A$ есть постоянная, она не меняется оттого, случилось $B$ или нет. А Вы выше прочли эту вероятность как "значение вероятности события $A$, взятое на тех исходах, когда событие $B$ случилось".

Н-да, язык и тут не даёт почувствовать особой разницы

Ну это примерно то же самое, что вместо $\mathsf P(\xi(\omega) < 7)=F_\xi(7-0)$ написать $\mathsf P(\xi(\omega) < 7)=1-F_7(\xi)$

Пример (может, на нём будет виднее): пусть $\Omega=[0,\,1]$ с борелевской сигма-алгеброй и мерой Лебега в качестве вероятности. Пусть $A=[0,\,1/4]\cup[3/4,\,1]$, $\mathsf P(A)=0,5$. Пусть $\xi(\omega)=\omega$ и $\varepsilon=1/4$.

Тогда $B=\{|\xi(\omega)-1/2|<1/4\}=(1/4,\,3/4)$. Однако $\mathsf P(A|B)=0$: событие $A$ вообще не происходит, когда $B$ случилось.

[Gortaur]

Ага, я так собственно и думал - иначе получается, что из вероятностных оценок возможно получить нетривиальные детерминисткие не используя ограниченность сл. величины. Да, язык путает немного - поэтому и написал. Стараюсь быть осторожным.