В конец стержня массы , лежащего на гладком горизонтальном

[Иван_85]

В конец стержня массы $M$, лежащего на гладком горизонтальном столе, попадает шарик, летящий перпендикулярно к стержню и параллельно плоскости стола со скоростью $v_0$. Считая массу $m$ шарика малой по сравнению с $M$, определить кинетическую энергию $E_k$ стержня после удара, если удар был абсолютно упругий.

Должны выполняться 3 закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса.
Закон сохранения энергии: $\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv'^2}{2}+E_k$,
$E_k=\frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv'^2}{2}$.
То есть надо найти скорость $v'$ шарика после столкновения. Не могу сообразить как ее найти. Подскажите пожалуйста.

[mihiv]

Используя законы сохранения импульса и момента, найдите кинетическую энергию стержня после удара $E_k$,при этом,т.к. масса шарика много меньше массы стержня,можно считать,что $v_0\approx v^'$ и $\vec v_0\approx -\vec v'$Зная $E_k$,можно будет найти $v'$.

[Иван_85]

Так кинетическую энергию стержня после удара нужно найти в итоге.
Нужно найти $v'$ для того, чтобы найти $E_k$.
И если мы предположим, что $v_0=v'$ то получится, что $E_k$.

[mihiv]

А,действительно,по условию нужно найти только $E_k$,ну тогда как я писал используйте два закона сохранения и приближение $v_0\approx v'$ и находите $E_k$.

[ewert]

Поскольку $v_0=v'$, закон сохранения импульса сразу даёт линейную скорость центра масс стержня. Соотношение между массой стержня, половиной его длины и моментом инерции известно, поэтому закон сохранения момента импульса так же сразу даст угловую скорость стержня, умноженную на половину длины. А что ещё нужно, чтобы сразу выписать кинетическую энергию?...

(Закон сохранения энергии не нужен, т.к. при малости шарика энергия стержня заведомо много меньше энергии шарика. Но потом из ЗСЭ при желании можно в первом приближении вытянуть изменение скорости шарика.)

[Иван_85]

ewert, но ведь мгновенная ось вращения стержня в момент удара будет не по центру стержня. У меня получилось, что мгновенная ось вращения будет отстоять от конца поп которому ударил шарик на $2/3$ его длины.

Ответ: $E_k=\frac{8mv_0^2}{M}$;
Проверьте, если не сложно.
Через минут 30-40 выложу подробное решение.

[ewert]

Что-то типа того (лень проверять, но тройка там действительно будет). Только зачем всё это. Полная кинетическая энергия -- это сумма кинетических энергий поступательного движения и вращения вокруг именно центра масс.

[Иван_85]

Сначала находим мгновенную ось вращения стержня в момент удара.
Момент импульса всей системы относительно конца неподвижного стержня по которому ударил шарик (далее, конец 2) равен нулю.
$dL=rv(r)dm=rv(r)\frac{M}{l}dr$, $l$-длина стержня.
$v(r)=v_m-\frac{v_m}{l_0}r$, $v_m$-линейная скорость конца 2 в момент удара.
$L=\frac{M}{l}\int\limits_{0}^{l}(v_m-\frac{v_m}{l_0}r)rdr=0$,
отсюда получаем $l_0=\frac{2}{3}l$-расстояние от конца 2 до мгновенной оси вращения.
Далее,
$dP=v(r)dm=v(r)\frac{M}{l}dr$, $v(r)=\frac{v_m}{l_0}r$;
$P=\frac{v_m}{l_0}\frac{M}{l}\int\limits_{\frac{1}{3}l}^{\frac{2}{3}l}rdr=\frac{Mv_m}{4}$. (С пределами интегрирования тут все в порядке =))
Учитывая, что $m<<M$ получаем
$\frac{Mv_m}{4}=2mv_0$,
$v_m=\frac{8mv_0}{M}$.
С другой стороны $v_m=\omega \frac{2}{3}l$,
$\omega=\frac{12mv_0}{Ml}$.
$E_k=\frac{I\omega^2}{2}$.
С помощью теоремы Штейнера найдем $I$:
$I=I_c+Ma^2$,
$I=\frac{Ml^2}{12}+M(\frac{l}{2}-\frac{l}{3})^2=\frac{Ml^2}{9}$.
В итоге
$E_k=\frac{Ml^2}{9}\frac{1}{2}(\frac{12mv_0}{Ml})^2=\frac{8mv_0^2}{M}$.
Правильно?

[ewert]

Ответ правильный, но решение проверить не могу -- чересчур длинно. Вот как надо было. Сразу считаем, что $v'=v_0$. Момент инерции -- это $I=\dfrac{Md^2}{3}$, где $2d$ -- это длина стержня. По закону сохранения импульса:

$mv_0=MV-mv_0\quad\Longleftrightarrow\quad V=\dfrac{2m}{M}\,v_0\,.$

По закону сохранения момента импульса:

$mv_0d=I\omega-mv_0d\quad\Longleftrightarrow\quad mv_0d=\dfrac{Md^2}{3}\,\omega-mv_0d\quad\Longleftrightarrow\quad \omega=\dfrac{6m}{Md}\,v_0\,.$

Следовательно, полная кинетическая энергия стержня:

$E_K=\dfrac{MV^2}{2}+\dfrac{I\omega^2}{2}=\dfrac{M}{2}\left(\dfrac{2mv_0}{M}\right)^2+\dfrac{Md^2}{6}\left(\dfrac{6mv_0}{Md}\right)^2=\dfrac{8m^2v_0}{M}\,.$

[Иван_85]

Спасибо за решение! Покороче моего будет =)