Система уравнения

[myra_panama]

Решить систему уравнении

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x+y+z+t=6 \\ \sqrt{1-x^2}+\sqrt{4-y^2}+\sqrt{9-z^2}+\sqrt{16-t^2}= 8\end{array} $$

ничего не приходит в голову.. я использовал метод векторов ..но

[paha]

Намек. Сделайте замену $x=\cos\alpha$, $y=\cos\beta$, $z=\cos\gamma$, $t=\cos\delta$ и сложите первое уравнение со вторым, умноженным на мнимую единицу.

[myra_panama]

paha в сообщении #406504 писал(а):

Намек. Сделайте замену $x=\cos\alpha$, $y=\cos\beta$, $z=\cos\gamma$, $t=\cos\delta$ и сложите первое уравнение со вторым, умноженным на мнимую единицу.

может так:
$x=\cos\alpha$ , $y=2\cos\beta$, $z=3\cos\gamma$, $t=4\cos\delta$ ,,,,//,,,,??

[paha]

myra_panama в сообщении #406506 писал(а):

может так:
$x=\cos\alpha$ , $y=2\cos\beta$, $z=3\cos\gamma$, $t=4\cos\delta$

ну да, разумеется

[myra_panama]

Если так то оба уравнения принимают вид:

$$ \left\{ \begin{array}{cc} $\cos\alpha$ + $2\cos\beta$+ $3\cos\gamma$+ $4\cos\delta$=6 \\ $\cos\alpha$ + $2\cos\beta$+ $3\cos\gamma$+ $4\cos\delta$= 8\end{array} $$

но это по моему невозможно...

[Troll1984]

Второе уравнение неправильно, там будут стоять не косинусы, а модули синусов.

[paha]

$x+i\sqrt{a^2-x^2}=ae^{i\arccos\frac{x}{a}}$

[myra_panama]

Troll1984 в сообщении #406514 писал(а):

Второе уравнение неправильно, там будут стоять не косинусы, а модули синусов.

извиняюсь да

$$ \left\{ \begin{array}{cc} $\cos\alpha$ + $2\cos\beta$+ $3\cos\gamma$+ $4\cos\delta$=6 \\ $\sin\alpha$ + $2\sin\beta$+ $3\singamma$+ $4\sin\delta$= 8\end{array} $$

[Troll1984]

А куда модули делись?

[ИСН]

Теперь сложите первое со вторым, умноженным на i.

[paha]

Troll1984 в сообщении #406545 писал(а):

А куда модули делись?

можно считать, что углы принимают значения в $[0;\pi]$

[myra_panama]

По моему можем решать и так:
Определим на плоскости векторы a,b,c,d так :$a(x,\sqrt{1-x^2}), b(y,\sqrt{4-y^2}), c(z,\sqrt{9-z^2}), d(t,\sqrt{9-t^2})$ отсюда
|a|=1 |b|=2 |c|=3 |d|=4
Пусть a+b+c+d=s , тогда из системы уравнении следует , что координатами вектора $s(s_1,s_2)$ являются $s_1=6 , s_2=8 ,,, |s|=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Поскольку a+b+c+d=s, то
$|a|+|b|+|c|+|d|\ge |s|$ , А это озночает что векторы a,b,c,d коллинеарны
,следовательно
$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=$$\frac{y}{\sqrt{4-y^2}}=$$\frac{z}{\sqrt{9-z^2}}=$$\frac{t}{\sqrt{16-t^2}}=\frac34$
Дальше всё понятно....

[ИСН]

Можно и так.

-- Вс, 2011-01-30, 13:56 --

Обычно, когда ставят такую задачу, для внушительности накидывают больше переменных, скажем

$$ \left\{ \begin{array}{rlll} x_1 & +\dots & +x_{10}& =6 \\ \sqrt{1-x_1^2} & +\dots & +\sqrt{1-x_{10}^2}& =8 \end{array} $$

[myra_panama]

paha в сообщении #406504 писал(а):

Намек. Сделайте замену $x=\cos\alpha$, $y=\cos\beta$, $z=\cos\gamma$, $t=\cos\delta$ и сложите первое уравнение со вторым, умноженным на мнимую единицу.

если так то:
$e^{i\alpha}+2e^{i\beta}+3e^{i\gamma}+4e^{i\delta}=6+8i$
но, что дальше

[Cave]

Посмотреть модули.