Вопрос про ненулевой нильпотент кольца

[Евгеша]

Пусть $x$ - ненулевой нильпотент кольца, т.е. $x^n=0$.
Тогда: $(1+x)x^{n-1}=x^{n-1}$, но отсюда получим что:
$1+x=1\Rightarrow x=0$ !? Где ошибка?

[svv]

А Вам точно доставит большее удовольствие прочитать разгадку, чем найти её самому?
Если да, посмотрите сюда:

(Оффтоп)

Из того, что $ax=x$ для некоторого $x$, не следует, что $a=1$.
Ведь из $(a-1)x=0$ не следует, что $a-1=0$, так как существуют делители нуля.

[Евгеша]

svv
Спасибо. Я бы сам дня два думал. Тогда уж скорее не удовольствие было бы, а уныние от собственного тугодумства.

[Joker_vD]

Хе-хе, ошибка в том, что сокращать в кольце просто так нельзя — а уж сокращать на нильпотент тем более нельзя. Если хотите с этим разобраться, можете посмотреть первые упражнения после 1-ой главы "Введения в коммутативную алгебру" Атьи и Макдоналда.