Область единственности уравнений)

[laplas_the_best]

1) $xy'=3y$

2) $y'=x+y$

Как определить область единственности, если нет начальных условий?

На всякий случай решил, получил след ответы

1) $y=Cx^3$

2) $y=\dfrac{x^2}{2}+x+C$

[ewert]

laplas_the_best в сообщении #406256 писал(а):

Как определить область единственности, если нет начальных условий?

Что значит "нет". Как раз и требуется найти множество всех начальных точек, для которых есть единственность.

Ответ для второго уравнения -- совсем неверный.

[laplas_the_best]

ewert в сообщении #406263 писал(а):

Что значит "нет". Как раз и требуется найти множество всех начальных точек, для которых есть единственность.

Ответ для второго уравнения -- совсем неверный.

Да, вы правы) Я условие 2 уравнения перепутал!

$y'=x+1$

А каким способом нужно искать это множество начальных точек?

[ewert]

laplas_the_best в сообщении #406270 писал(а):

А каким способом нужно искать это множество начальных точек?

Вспомните формулировку теоремы существования и единственности решения -- и ищите те точки, в которых условия теоремы нарушаются.

(конечно, существенно и то, что в точности понимается под дифференциальным уравнением: с этой точки зрения $xy'=3y$ и $x\,dy=3y\,dx$ -- две большие разницы)

[laplas_the_best]

ewert в сообщении #406280 писал(а):

Вспомните формулировку теоремы существования и единственности решения -- и ищите те точки, в которых условия теоремы нарушаются.

(конечно, существенно и то, что в точности понимается под дифференциальным уравнением: с этой точки зрения $xy'=3y$ и $x\,dy=3y\,dx$ -- две большие разницы)

1) $xy'=3y$ => $y'=\dfrac{3y}x$

Проверим первое условие
Непрерывность $f(x,y)=\dfrac{3y}x$ Функция имеет разрыв в точке $x=0$

Проверим второе условие
$f_y'=\dfrac{3}x$


Значит, область единственности $x0y$, кроме $x=0$?

2)$ y'=x+1$

Проверим первое условие
$f(x,y)=x+1$ непрерывна при любых $(x,y)$

Проверим второе условие
$f_y'=0$
Условие выполняется при любых $(x,y)$

Область единственности $x0y$

-- Сб янв 29, 2011 18:14:55 --

Правильно ли?)

[ewert]

laplas_the_best в сообщении #406292 писал(а):

1) $xy'=3y$ => $y'=\dfrac{3y}x$

Проверим первое условие
Непрерывность $f(x,y)=\dfrac{3y}x$ Функция имеет разрыв в точке $x=0$

Проверим второе условие
$f_y'=\dfrac{3}x$

Значит, область единственности $x0y$, кроме $x=0$?

Да, но это вот именно если ищется решение в виде функции $y=y(x)$. Тогда решение единственно везде, кроме оси ординат, неединственно в начале координат и не существует в остальных точках вертикальной оси. А вот если ищутся просто интегральные кривые для уравнения $x\,dy=3y\,dx$, то решение будет единственно на всей плоскости, кроме начала координат.

[laplas_the_best]

ewert в сообщении #406315 писал(а):

Значит, область единственности $x0y$, кроме $x=0$?
Да, но это вот именно если ищется решение в виде функции $y=y(x)$. Тогда решение единственно везде, кроме оси ординат, неединственно в начале координат и не существует в остальных точках вертикальной оси. А вот если ищутся просто интегральные кривые для уравнения $x\,dy=3y\,dx$, то решение будет единственно на всей плоскости, кроме начала координат.

Спасибо) А почему так?) А во втором -- правильно?

[ewert]

laplas_the_best в сообщении #406327 писал(а):

Спасибо) А почему так?)

Потому, что записи $xy'=3y$ и $x\,dy=3y\,dx$ не вполне эквивалентны: во втором случае решением является в т.ч. и $x\equiv0$ (поскольку переменные равноправны), в первом -- нет.

laplas_the_best в сообщении #406327 писал(а):

А во втором -- правильно?

Да.