Декартово произведение

[Sasha2]

На плоскости $XOY$ через все точки оси $OX$ с целочисленными координатами проводятся прямые параллельные оси $OY$. Аналогичным образом, через все точки оси $OY$ с целочисленными координатами проводятся прямые параллельные оси $OX$. Таким образом получаем стандартную целочисленную решетку. Оси $OX$ и $OY$ перпендикулярны между собой.

Вот так сразу непонятно можно ли эту решетку представить в виде некоторого декартового произведения.
Интересно также узнать (конечно в том случае, если такое представление вообще возможно) обладает ли данная задача одним единственным решением или их много.

[Joker_vD]

Sasha2 в сообщении #405994 писал(а):

Таким образом получаем стандартную целочисленную решетку.

Тпру. "Стандартная целочисленная решетка" — это множество прямых с уравнениями вида либо $x=k$, либо $y=k$, где $k\in\mathbb Z$, так?

Sasha2 в сообщении #405994 писал(а):

Вот так сразу непонятно можно ли эту решетку представить в виде некоторого декартового произведения.

Нельзя, элементы этой решетки не являются $n$-ками. Можно лишь построить "изоморфизм" на другое какое-нибудь множество, являющееся декартовым произведением. Например, на $\mathbb Z\times\{\,0,1\,\}$.

[Gortaur]

Насколько я разбираюсь в фигурных скобках, там множество из двух элементов или континуум? ТС явно континуум нужен.

[Sasha2]

Ну хорошо, а если сузить эту задачу до какого нибудь квадрата с вершинами в узлах этой решетки и со сторонами параллельными осям $OX$ и $OY$.

[Gortaur]

То есть можно ли границу квадрата представить как декартово произведение?

[Joker_vD]

Gortaur
Множество из двух элементов. $(k, 0)$ ставится для прямых с уравнением $x=k$, а $(k,1)$ — для прямых с уравнением $y=k$. Да и как тут получить континуум, если его решетка — счетное множество?

Sasha2
Декартово произведение — это множество энок (двоек, троек, и так далее, неважно). "Квадрат с вершинами в узлах этой решетки и со сторонами параллельными осям" — это множество пар $\left\{\,(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x\in [k_1,k_2],\, y\in[l_1,l_2],\; k_1, k_2, l_1,l_2 \in \mathbb Z\,\right\}$. Да, этот квадрат является декартовым произведением $[k_1,k_2]\times[l_1,l_2]$. Ну и что?

А вообще, уточняйте свои термины. Что вы называете решеткой, что квадратом.